「正四面体」について

　私立 産業医科大学 2012年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数xに対して，x以下の最大の整数を[x]で表す．例えば[3]=3，[3.14]=3，[-3.14]=-4である．実数xについて，方程式4x-3[x]=0の解の個数は[]であり，方程式x2-3x+[3x]=0の解の個数は[]である．
(2)a,b,cをa+b+c=πを満たす正の実数とするとき，sin(a)sin(b)sin(c)の最大値は[]である．
(3)原点をOとする座標空間内の3点A(-1,1,1)，B(1,-1,1)，C(1,・・・

　私立 京都女子大学 2012年 第2問

1辺の長さが6の正四面体OABCにおいて，辺OBを1:2に内分する点をP，辺OCを2:1に内分する点をQとするとき，次の問に答えよ．
(1)△APQの3辺AP，PQ，QAの長さを求めよ．
(2)△APQの面積Sを求めよ．
(3)正四面体OABCの体積Vを求めよ．

　公立 横浜市立大学 2012年 第2問

座標空間に，一辺の長さがaの正四面体ABCDがある．辺AB，CD上にそれぞれ点P，Qを
AP=CQ=ta(0＜t＜1)
となるようにとる．以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルベクトルBAとベクトルBQの内積を求めよ．
(2)ベクトルベクトルQAとベクトルQBの内積を求めよ．
(3)ベクトルベクトルQPの長さを求めよ．

　国立 横浜国立大学 2011年 第3問

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを　OD　=1/2,　OE　=t(0＜t＜1),　AF　=2/3となるようにとる．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルDE,ベクトルDFをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,tを用いて表せ．
(2)ベクトルDE⊥ベクトルDFのとき，tの値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線・・・

　国立 弘前大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0≦θ＜2πのとき，方程式
2sin2θ=tanθ+\frac{1}{cosθ}
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc,ベクトルAD=ベクトルdとし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．

　国立 横浜国立大学 2011年 第3問

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを　OD　=1/2,　OE　=t(0＜t＜1),　AF　=2/3となるようにとる．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルDE,ベクトルDFをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,tを用いて表せ．
(2)ベクトルDE⊥ベクトルDFのとき，tの値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの・・・

　国立 鳥取大学 2011年 第4問

半径a\;cmの球Bを，球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒v\;cmの速さで下の方向に動かし，水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく．球Bを沈め始めてからt秒後までにあふれ出る水の体積をV\;cm3とするとき，次の問いに答えよ．ただし，a,vは正の定数で，容器Qに球Bを完全に水没させることができるとする．
(1)Vをa,v,tの式で表せ．また変化率dV/dtが最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．
(2)容器Qは一辺の長さがbの正四面体から一面を取り除いた形をしてお・・・

　国立 愛媛大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=x2-3x+7-3|x-2|のグラフをかけ．
(2)方程式log5x-\frac{4}{log5x}+\frac{log5x3}{log5x}=0を解け．
(3)a＞0とする．関数f(t)=t(a-t2)(0＜t＜√a)の最大値が2であるとき，aの値を求めよ．
(4)正四面体の各面に0,1,2,3の数字が1つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを2つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を・・・

　私立 上智大学 2011年 第3問

xyz空間内の正四面体ABCDを考える．頂点A，B，C，Dはすべて原点Oを中心とする半径1の球面S上にある．Aの座標は(0,0,1)であり，Bのx座標は正，y座標は0である．また，Cのy座標はDのy座標より大きい．
(1)B，C，Dのz座標は\frac{[ニ]}{[ヌ]}である．
(2)Cのx座標は\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}・・・

　私立 日本女子大学 2011年 第2問

1辺の長さが1の正四面体OABCで，辺OAをt:(1-t)に内分する点をD，辺BCの中点をE，辺DEを1:3に内分する点をFとする．ただし，0＜t＜1とする．
(1)ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとするとき，内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルa・ベクトルc，ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ．
(2)内積ベクトルa・\frac{ベクトルb+ベクトルc}{2}，\frac{・・・