「正方形」について

　国立 東京大学 2013年 第6問

座標空間において，xy平面内で不等式|x|≦1，|y|≦1により定まる正方形Sの4つの頂点をA(-1,1,0)，B(1,1,0)，C(1,-1,0)，D(-1,-1,0)とする．正方形Sを，直線BDを軸として回転させてできる立体をV1，直線ACを軸として回転させてできる立体をV2とする．
(1)0≦t＜1を満たす実数tに対し，平面x=tによるV1の切り口の面積を求めよ．
(2)V1とV2の共通部分の体積を求めよ．

　私立 名城大学 2013年 第2問

図に示す一辺の長さが10a(a＞0)の正方形ABCDがある．辺上を車両が動くとき，次の問に答えよ．
(1)車両Qが，一定の速度aで点Cを出発し，点Dを経由して点Aまで動くものとする．出発時刻をt=0とし，時間t経過後の点Aと車両Qとの直線距離をtとaを用いて表せ．
(2)(1)の条件下で，点Aと車両Qとの間で通信が行われる．通信に必要な電力yは，2点間の直線距離の2乗である．時間t経過後の電力yの変化を横軸にt，縦軸をy・・・

　私立 成城大学 2013年 第3問

一辺の長さがa1の正方形S1がある．以下の図のように，S1の対角線を一辺とする正方形S2をつくり，その一辺の長さをa2とする．さらに，S2の対角線を一辺とする正方形S3をつくり，その一辺の長さをa3とする．
以下，1≦n≦7に対して同様にしてつくられる正方形Snの一辺の長さをanとし，n個の正方形S1,・・・,Snが重なってできる多角形の面積をAnとするとき，以下の問いに答えよ．ただし，正方形は点Oを・・・

　私立 東京女子大学 2013年 第2問

座標平面においてy=3/4x，0≦x≦100で定まる線分をLとする．
(1)L上の点でx座標，y座標がともに整数であるものは何個あるか．
(2)整数a,bを用いてa-1≦x≦a，b-1≦y≦bで表される正方形のうち，Lと共有点を持つものは何個あるか．

　公立 鳥取環境大学 2013年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)次の(i)～(iii)の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i)xが整数ならばx2≧0である．
(ii)nが2以上の整数であるとき2n-1はすべて素数である．
(iii)数学は美しい．
(2)次の(i)～\tokeigoの[]の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない・・・

　公立 福島県立医科大学 2013年 第3問

A(1,1,0)，B(-1,1,0)，C(-1,-1,0)，D(1,-1,0)，G(0,0,√2)をxyz空間の点とする．正方形ABCDを底面とし，Gを頂点とする四角すいの内部の点P(x,y,z)で，x2+y2≦1を満たす点を集めた図形をVとする．また，平面z=aでVを切断したときの切断面をSaとする．ただし，0＜a＜√2である．以下の問いに答えよ．
(1)Saが正方形となるaの最小値をz0とする．z0の値を求めよ．
(2)(1)のz0につい・・・

　国立 一橋大学 2012年 第4問

xyz空間内の平面z=2上に点Pがあり，平面z=1上に点Qがある．直線PQとxy平面の交点をRとする．
(1)P(0,0,2)とする．点Qが平面z=1上で点(0,0,1)を中心とする半径1の円周上を動くとき，点Rの軌跡の方程式を求めよ．
(2)平面z=1上に4点A(1,1,1)，B(1,-1,1)，C(-1,-1,1)，D(-1,1,1)をとる．点Pが平面z=2上で点(0,0,2)を中心とする半径1の円周上を動き，点Qが正方形ABCDの周上を動くとき，点Rが動きうる領域をxy平面上に図示し，その面積を求めよ．

　国立 防衛大学校 2012年 第3問

座標平面上の3点(0,0)，(6,0)，(0,6)を頂点とする三角形と4点(0,t)，(0,t-4)，(4,t-4)，(4,t)を頂点とする正方形の共通部分の面積をS(t)とする．このとき，次の問に答えよ．ただし，2≦t≦6とする．
(1)S(2)とS(6)の値を求めよ．
(2)S(t)を最大にするtの値と，S(t)の最大値Mを求めよ．
(3)2≦t≦5のとき，S(t)=S(t+1)をみたすtの値を求めよ．

　国立 鳴門教育大学 2012年 第2問

正方形の各辺をn等分する点と，正方形の4つの頂点について，次の問いに答えよ．ただし，n≧2とする．
(1)これらの点のうちの3個を頂点とする三角形の個数を求めよ．
(2)(1)のうち，直角二等辺三角形の個数を求めよ．

　私立 早稲田大学 2012年 第2問

座標平面上に4点O(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)がある．実数aに対して4点P(a+1,a)，Q(a,a+1)，R(a-1,a)，S(a,a-1)をとる．このとき，次の設問に答えよ．
(1)長方形OABCと正方形PQRSが共有点を持つようなaの範囲を求めよ．
(2)長方形OABCと正方形PQRSの共通部分の面積が最大となるaの値と，そのときの共通部分の面積を求めよ．