「正方形」について

　国立 千葉大学 2011年 第3問

四角錐OABCDにおいて，底面ABCDは1辺の長さ2の正方形で，
OA=OB=OC=OD=√5
である．
(1)四角錐OABCDの高さを求めよ．
(2)四角錐OABCDに内接する球Sの半径を求めよ．
(3)内接する球Sの表面積と体積を求めよ．

　国立 千葉大学 2011年 第9問

rは0＜r＜1を満たす実数とする．座標平面上に1辺の長さがrnの正方形Rn(n=0,1,2,3,・・・)があり，その頂点を反時計回りにAn，Bn，Cn，Dnとする．さらにRnは次の条件(i),(ii)を満たすとする．
(i)正方形R0の頂点はA0(0,0)，B0(1,0)，C0(1,1)，D0(0,1)である．
(ii)A_{n+1}=Cnで，点D_{n+1}は辺CnDn上にある．
\end{enumerat・・・

　国立 愛知教育大学 2011年 第2問

1辺の長さが2の正方形の紙を用意し，頂点をA1，A2，A3，\\
A4と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ\\
1-t(0＜t＜1)の4つの二等辺三角形△A1A2B1，\\
△A2A3B2，△A3A4B3，△A4A1B4を正方形から切り離す．\\
そして，4本の線分B1B2，B2B3，B3B4，B4B1で紙を・・・

　国立 佐賀大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)正方形ABCDが図のように3つの線分EG，FH，CGに\\
よって4つの部分に分割されている．四角形AEGHは面積\\
が400の正方形になり，三角形FCGは面積が8になる．\\
このとき，正方形ABCDの面積を求めよ．
\img{711292220111}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して\\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ．\\
（答案）まず402＜2116＜502なので，2116-402=516を出す．次・・・

　国立 福島大学 2011年 第2問

以下の問いに答えなさい．
(1)点Oを頂点とし，1辺の長さ1の正方形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDが，　OA　=　OB　=　OC　=　OD　=1を満たしているとする．辺OAを2:1に内分する点をP，辺OCをt:1-tに内分する点をQとする．線分BPと線分BQのなす角がπ/3になるときのtの値を求めなさい．
(2)点Pが放物線y=x2上を動くき，定点A(1,a)と点Pとを結ぶ線分APを1:2に内分する点Qの軌跡の方程式をaを用いて書きなさい．
(3)d/dx∫0^{sin3x}・・・

　国立 宮城教育大学 2011年 第3問

nを1以上の整数とする．k=1,2,・・・,n,n+1に対して，xy平面上で，点(0,k)を通りx軸に平行な直線をℓkとし，点(k,0)を通りy軸に平行な直線をmkとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線
ℓ1,ℓ2,・・・,ℓn,ℓ_{n+1}
から相異なる2本を選び，直線
m1,m2,・・・,mn,m_{n+1}
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考え・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2011年 第1問

三角形A0B0Cは辺A0B0の長さがa，∠A0=60°，∠B0=90°の直角三角形であり，三角形{A0}´{B0}´C´は辺{A0}´{B0}´の長さがa，∠{A0}´=45°，∠{B0}´=90°の直角三角形である．右図に示すように三角形A0B0Cの3つの辺上にそれぞれ点D1，A1，B1をとり，正方形B0D1・・・

　国立 防衛大学校 2011年 第3問

右の図のような格子状の道および斜めの道がある．次の場合の最短経路は何通りあるか．ただし，小さいマス目はすべて合同な正方形とする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)AからBまで行く．
(2)Aから斜めの道を通らずにBまで行く．
(3)AからCまで行く．

　私立 南山大学 2011年 第2問

座標平面上に放物線C:y=x2と4点P(p,p2)，Q(-p,p2)，R(-p,p2+2p)，S(p,p2+2p)がある．また，3次関数y=f(x)はx=-pで極小値p2，x=pで極大値p2+2pをとる．ただし，p＞0とする．
(1)Cと線分PQで囲まれた部分の面積と正方形PQRSの面積が等しくなるpの値を求めよ．
(2)f(x)をpで表せ．
(3)PにおけるCの接線をℓとする．曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線がℓと垂直になるとき，aをpで表せ．
\end{e・・・

　私立 明治大学 2011年 第3問

自然数n,kについて，xy平面上で0≦y≦xとy≦2n+k-xで定まる領域をCkとする．ある整数a,bに対して，(a,b)，(a+k,b)，(a,b+k)，(a+k,b+k)を頂点にもつ正方形を1辺がkの格子点の正方形と呼ぶ事にする．Ckに入る格子点の正方形を考える（Ckの境界も含める）．このとき，次の問いに答えよ．
(1)n=4のとき，Ck内に1辺がkの格子点の正方形が存在するための，最大のkをもとめよ．
(2)1辺がkの格子点の正方形が，Ck内に存在するためのkの条件を，・・・