「正方行列」について

　国立 香川大学 2015年 第5問

（旧課程履修者）行列A,EをA=(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とし，a,bをa2+b2≠0を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)A2を求めよ．
(2)X=aA+bEの逆行列X^{-1}を求めよ．
(3)B2=-Eを満たす任意の2次の正方行列Bについて，(aB+bE)(-aB+bE)=sB+tEとなる実数s,tをa,bを用いて表せ．
(4)(3)のBに対してY=aB+bEとおくとき，pB+qEがYの逆行列・・・

　国立 東京学芸大学 2015年 第4問

次の(1),(2)から1題を選択し解答せよ．
(1)等式|i/z-1|=|1/z-k|を満たすすべての複素数zに対して不等式|z|≦2が成り立つような実数kの値の範囲を求めよ．
(2)実数kと2次の正方行列AはA2-kA+3E=Oを満たすとする．また，座標平面上でAの表す移動によって，点(1,1)は点(3,3)へ移り，直線y=-x上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，Aを求めよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列を表す．
\end{en・・・

　私立 学習院大学 2015年 第5問

（旧課程履修者）2次正方行列
A=(\begin{array}{cc}
3&-1\
4&-2
\end{array})
に対して，数列{xn}，{yn}を
(\begin{array}{c}
x1\
y1
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
1
\end{array}),(\begin{array}{c}
x_{n+1}\
y_{n+1}
\end{array})=A(\begin{array}{c}
xn\
yn
\end{array})+(\begin{array}{c}
1\
4
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
で定める．
\mon・・・

　国立 北海道大学 2014年 第3問

逆行列をもつ2次の正方行列，A1,A2,A3,・・・が，関係式
A_{n+1}An=An+2E(n=1,2,3,・・・)
をみたすとする．さらにA1+Eは逆行列をもつとする．ここでEは2次の単位行列とする．
(1)すべての自然数nに対してAn+Eは逆行列をもち，
(A_{n+1}+E)^{-1}=1/2An(An+E)^{-1}
が成立することを示せ．
(2)Bn=(2E-An)(An+E)^{-1}により，行列Bnを定める．B_{n+1}とBnとの間に成立する関係式を求め，BnをB1とnを用いて表せ．

　国立 筑波大学 2014年 第5問

実数を成分とする正方行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&1\
-1&2
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})
について，以下の問いに答えよ．
(1)AB=BAを満たすAは，実数x,yを用いてA=xB+yEと表せることを示せ．
(2)A3=Eのとき
(t2-\Delta)A=(t\Delta+1)E
を示せ．ただし，t=a+d，\Delta=ad-bcとする．
(3)AB=BAかつA3=Eを満たすAをすべ・・・

　国立 長岡技術科学大学 2014年 第2問

Aを2次の正方行列とし，Oを2次の零行列，Eを2次の単位行列とする．P=A-Eとおいたとき，P2=Oが成り立っているとする．下の問いに答えなさい．
(1)等式A2=2P+EとA3=3P+Eを示しなさい．
(2)自然数nに対してAnをPとEで表しなさい．
(3)A=(\begin{array}{cc}
2&1\
-1&0
\end{array})のとき，自然数nに対してAnを求めなさい．

　国立 鹿児島大学 2014年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)座標平面上での原点を中心とする{150}°の回転移動を表す行列をPとする．点(x,y)がPの表す移動によって，点(2,4)に移ったとする．このとき，点(x,y)を求めよ．
(2)(1)で与えられた行列Pを考える．Pn=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たす最小の自然数nを求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，X,Yは2次の正方行列とする．
(i)XY=Y・・・

　国立 弘前大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
-1&3
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)4P+Q=AとP+Q=Eを満たす2次正方行列P,Qを求めよ．
(2)(1)で求めたP,Qに対して，PQ,QPを求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
(4)Anの逆行列をBn=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array})とする．極限値\lim_{n→∞}an，・・・

　国立 富山大学 2014年 第3問

実数を成分とする2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，T(A)=a+d，\Delta(A)=ad-bcと定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})，O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とする．
(1)等式A2-T(A)A+\Delta(A)E=Oが成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．
(2)実数を成分とする2次の正方行列X,YがXY-YX=(\begin{array}{cc}・・・

　国立 山梨大学 2014年 第2問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})が，実数kに対し，A2-kA=(k-3)Eを満たすとする．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)b≠0またはc≠0のとき，a+dおよびad-bcをkを用いた式で表せ．
(2)実数kがA(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})を満たすとき，kの値を求めよ．
(3)kを定数として，bcが最大となるようなa,dとそのときのbcを・・・