「正方行列」について

　公立 滋賀県立大学 2014年 第3問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})（a,b,c,dは実数とする）に対して，2次方程式x2-(a+d)x+ad-bc=0は相異なる2つの実数解α,βをもつとする．いま，
P=\frac{1}{α-β}(A-βE),Q=\frac{1}{β-α}(A-αE)
とおく．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)PQ=QP=Oが成り立つことを示せ．ただし，Oは2次の零行列である．
(2)P+Q=E,P2=PおよびQ2=Qが成り立つことを示せ．
(3)A=αP+\・・・

　公立 広島市立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=2,a_{n+1}-an=(n+1)(n+2)(n=1,2,3,・・・)
(2)A=(\begin{array}{cc}
1&1\
-1&2
\end{array})とし，pA+qE（p,qは実数）の形の2次正方行列全体の集合をMとする．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(i)Aの逆行列A^{-1}を求めよ．
(ii)A^{-1}は集合Mに属することを示せ．
(3)m,nを正・・・

　公立 京都府立大学 2014年 第4問

実数を成分とする2次正方行列Aの逆行列は存在しないとする．2次正方行列XはXAX=XかつAX=XAかつA3X=A2を満たすとする．A2≠(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})のとき，以下の問いに答えよ．
(1)2次正方行列YがYAY=YかつAY=YAかつA3Y=A2を満たすとき，Y=Xであることを示せ．
(2)A=(\begin{array}{cc}
1&1\
1&1
\end{array})のとき，Xを求めよ．

　国立 東北大学 2013年 第5問

2次の正方行列AをA=(\begin{array}{cc}
-\frac{1}{√2}&-\frac{1}{√2}\
\frac{1}{√2}&-\frac{1}{√2}\
\end{array})で定める．n=1,2,3,・・・に対して，点Pn(xn,yn)を関係式
(\begin{array}{c}
xn\
yn
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x_{n-1}\
y_{n-1}
\end{array})+(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
で定め・・・

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第2問

2次正方行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})のうち，次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすもの全体の集合をMとする．
(i)a,b,c,dはすべて整数
(ii)b+c=0
(iii)a-b-d=0
またEを2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)行列A,BがともにMの要素であるとき，それらの積ABもMの要素であることを示せ．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b・・・

　国立 東京工業大学 2013年 第2問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bc,t(A)=a+dと定める．
(1)2次の正方行列A,Bに対して，\Delta(AB)=\Delta(A)\Delta(B)が成り立つことを示せ．
(2)Aの成分がすべて実数で，A5=Eが成り立つとき，x=\Delta(A)とy=t(A)の値を求めよ．ただし，Eは2次の単位行列とする．

　国立 長岡技術科学大学 2013年 第1問

2次正方行列Aと2つの列ベクトルX=(\begin{array}{c}
2\
5
\end{array}),Y=(\begin{array}{c}
1\
3
\end{array})があり，AX=3Y，AY=Xが成り立っているとする．下の問いに答えなさい．
(1)AとA2を求めなさい．
(2)自然数nについてAnを求めなさい．

　国立 静岡大学 2013年 第3問

aとbを実数とする．2次正方行列
X=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})
の逆行列が存在するとし，Aを等式
AX=(\begin{array}{cc}
-2a&-2b\
-2b&2a
\end{array})
を満たす2次正方行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)X^{-1}AXを求めよ．
(2)nが正の偶数のとき，Anを求めよ．
(3)nが正の偶数のとき，(A^{-1})nを求めよ．

　国立 山梨大学 2013年 第5問

任意の2次の正方行列M=(\begin{array}{cc}
p&q\
r&s
\end{array})に対し，D(M)=ps+3qr，T(M)=p+sとする．また，A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
d&b\
c&a
\end{array})とし，D(AB)=D(A)D(B)が成り立つものとする．
(1)bc=0が成り立つか，またはAの逆行列が存在しないことを示せ．
(2)自然数nに対し，T(An)を求めよ．

　国立 九州工業大学 2013年 第2問

a,bを実数とし，行列Aを2次の正方行列とする．x,yについての連立1次方程式を，行列を用いて
A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=(\begin{array}{c}
a\
b
\end{array})・・・・・・(*)
と表す．次に答えよ．
(1)A=(\begin{array}{cc}
3&2\
6&4
\end{array})のとき，連立1次方程式(*)を解け．
(2)cを実数とし，a≠0,b≠0とする．また，A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&1
\end{array}・・・