「正方行列」について

　公立 首都大学東京 2012年 第3問

Aは2次正方行列とし，E，OはそれぞれAと同じ型の単位行列，零行列とする．AはkE（kは実数）の形でなく，A2-3A+2E=Oを満たす．以下の問いに答えなさい．ただし，nは自然数とする．
(1)A3=aA+bEを満たす実数a,bを求めなさい．
(2)An=anA+bnEを満たす実数an,bnを求めなさい．
(3)Anの逆行列がxA+yE(x,y　は実数　)と表せるとき，x,yを求めなさい．

　公立 会津大学 2012年 第6問

a,bを実数の定数として，2次の正方行列Aを
A=(\begin{array}{cc}
a&a-b\
0&b
\end{array})
と定める．自然数nに対してAnを推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

　公立 横浜市立大学 2012年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)aを正の定数として，関数f(x)をf(x)=log(\sqrt{a2+x2}-x)とおく．f(x)を微分して，多項式
f(0)+f´(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x3
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線C:y=sinx(0＜x＜π/2)上の点P(a,sina)におけるCの法線がx軸と交わる点をQとする．線分PQを直径とする円が，x軸と交わるQ以外の点をRとする．このと・・・

　国立 広島大学 2011年 第1問

実数a,bに対して，2次正方行列Aと列ベクトルBを
A=(\begin{array}{cc}
a&2-a\\
1+a&2
\end{array}),B=(\begin{array}{c}
2b\\
b
\end{array})
と定め，E=(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array})とする．等式
(\begin{array}{c}
x´\\
y´
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array})+B
により，座標平面上の点P(x,y)に対し点P´(x´,y´)が定まるものとする．次の問いに・・・

　国立 三重大学 2011年 第4問

tを実数として2次正方行列At=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-t\\
t&1
\end{array}\biggr)を考える．
(1)すべての実数tに対しAtが逆行列を持つことを示し，その逆行列At^{-1}を求めよ．
(2)各実数tに対し座標平面上の点(xt,yt)を条件\biggl(\begin{array}{c}
xt\\
yt
\end{array}\biggr)=At^{-1}\biggl(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\biggr)によって定める．tがすべての実数を動くとき(xt,yt)が描く図形を求めて図示せよ．

　国立 三重大学 2011年 第3問

tを実数として2次正方行列At=\biggl(\begin{array}{cc}
1&-t\\
t&1
\end{array}\biggr)を考える．
(1)すべての実数tに対しAtが逆行列を持つことを示し，その逆行列At^{-1}を求めよ．
(2)各実数tに対し座標平面上の点(xt,yt)を条件\biggl(\begin{array}{c}
xt\\
yt
\end{array}\biggr)=At^{-1}\biggl(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\biggr)によって定める．tがすべての実数を動くとき(xt,yt)が描く図形を求めて図示せよ．

　国立 愛知教育大学 2011年 第7問

2次の正方行列A,Bについて次の2つの条件を考える．(Oは零行列を表す．)
\mon[(a)]A3B2-A2B3=O
\mon[(b)]A2≠OかつB2≠O

(1)(a)を満たすAとBがともに逆行列をもつとき，A=Bであることを証明せよ．
(2)(a)，(b)を満たし，A≠BであるA,Bの例を1組あげよ．

　国立 山梨大学 2011年 第4問

2次正方行列Aは点(1,2)を点(1,2)へ移し，点(3,3)を点(9,12)へ移す．
(1)Aを求めよ．
(2)行列P=(\begin{array}{cc}
1&2\
a&b
\end{array})およびB=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&m
\end{array})はAP=PBを満たす．Pが逆行列を持つときのa,b,mの値および逆行列P^{-1}を求めよ．
(3)自然数nについて，Anをnを用いて表せ．
(4)点C(1,3)がAnにより移動する点をCnと表す．Cnはnによらない直線\el・・・

　国立 山形大学 2011年 第2問

2次の正方行列A,Bと実数pが
A+B=3E,pA-B=\biggl(\begin{array}{cc}
0&-3\\
-6&3
\end{array}\biggr),AB=O
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，Eは単位行列，Oは零行列である．
(1)(p+1)A=\biggl(\begin{array}{cc}
3&-3\\
-6&6
\end{array}\biggr),(p+1)B=\biggl(\begin{array}{cc}
3p&3\\
6&3(p-1)
\end{array}\biggr)を示せ．
(2)実数pの値と行列A,Bを求めよ．
(3)自然数nに対して，A^{n+1}=3Anを示し，Anを求めよ．

　国立 福井大学 2011年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)Oを原点とする座標平面上，直線y=kx(k　は定数　)に関する対称移動をfで表す．また座標平面上の点Pに対して，直線OPをOを中心として角π/4だけ回転して得られる直線ℓにPから下ろした垂線とℓの交点をQとし，PをQに移す移動をgで表す．ただしOはgによりO自身に移動するものとする．f,gをこの順に続けて行って得られる移動（合成変換g\circf）を表す行・・・