「正方行列」について

　国立 山梨大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xに対して[x]をm≦x＜m+1を満たす整数mとする．このとき
\lim_{n→∞}\frac{[10^{2n}π]}{10^{2n}}
を求めよ．
(2)y=log\frac{\sqrt{1+ex}-1}{\sqrt{1+ex}+1}を微分せよ．
(3)0＜x＜πにおいてsinx+sin2x=0を満たすxを求めよ．また，定積分∫0^π|sinx+sin2x|dxを求めよ．
(4)Aを2次正方行列とする．A2-2011A+E=OならばAは逆行列を持つことを示せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　公立 大阪市立大学 2011年 第2問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{rr}
1&1\\
-1&3
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
b&1\\
0&b
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
1&1\\
p&q
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)nを正の整数とするとき，Bnを求めよ．
(2)AP=PBが成り立つように，b,p,qの値を求めよ．
(3)nを正の整数とするとき，Anを求めよ．

　公立 首都大学東京 2011年 第3問

2次の正方行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)tの2次方程式
t2-(a+d)t+ad-bc=0・・・・・・(*)
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)(*)の大きい方の解をt=βと表す．実数yで，
(A-βE)\biggl(\begin{array}{c}
b\\
y
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\biggr)
をみたすも・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第4問

kを正の定数とする．直線y=kxをℓとし，原点Oを通り直線ℓに垂直な直線をmとする．2次正方行列Aで表される1次変換をfとする．fにより，直線ℓ上の点は自分自身に移り，直線m上の点は原点に移るとする．
(1)行列Aを求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pのfによる像をQとする．
\mon[(i)]点Qは直線ℓ上の点であることを示せ．
\mon[(ii)]点Pが直線ℓ上の点でないとき，直線PQと直線ℓは垂直であることを示せ．
\mon[(iii)]3点(0,0)，(1,0)，・・・

　公立 大阪府立大学 2011年 第3問

3次の正方行列(\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
0&d&e\\
0&0&f
\end{array})について，以下の問いに答えよ．ただし，Aと同じ型の単位行列をE，零行列をOとする．
(1)A3を求めよ．
(2)A3=Oであるための必要十分条件は，a=d=f=0であることを示せ．
(3)(A+E)3=Eならば，A=Oであることを示せ．

　国立 東北大学 2010年 第6問

xy平面において，原点を中心としP(1,0)を頂点の1つとする正6角形をXとする．Aを2次の正方行列とし，Xの各頂点(x,y)に対して，行列Aの表す移動
(\begin{array}{c}
x´\\
y´
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array})
で得られる点(x´,y´)はXの辺上の点(頂点を含む)であるとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pが行列Aの表す移動でP自身に移るとき，Xの各頂点はXのいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの・・・

　国立 九州大学 2010年 第5問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})を考える．平面上の点P(x,y)に対し，点Q(X,Y)を
(\begin{array}{c}
X\\
Y
\end{array})=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array})
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Pが放物線y=x2全体の上を動くとき，Qが放物線9X=2Y2全体の上を動くという．このとき，行・・・

　国立 徳島大学 2010年 第2問

実数を成分にもつ2次の正方行列について，次の問いに答えよ．ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array}\biggr)とする．
(1)A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&-b\\
b&a
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
c&-d\\
d&c
\end{array}\biggr)がAB=Oを満たすとき，A=OまたはB=Oが成り立つことを示せ．
(2)X=\biggl(\begin{array}{cc}
p&-q\\
q&p
\end{array}\biggr)のとき，・・・

　国立 島根大学 2010年 第4問

3次正方行列
E=(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}),X=(\begin{array}{ccc}
0&0&-1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{array})
について，次の問いに答えよ．
(1)X2とX3を求めよ．
(2)X^{101}を求めよ．
(3)X^{100}+X^{99}+X^{98}+・・・+X+Eを求めよ．

　国立 三重大学 2010年 第4問

Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1)p,qを実数としq≠0とする．\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)X=X\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)ならば，XはX=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)の形に表せることを示せ．
(2)X=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)のとき，自然数nに対しXn=\biggl(\begin{array}{cc}
an&na^{n-1}b\\
0&an
\end{array}\biggr)・・・