「正方行列」について

　公立 広島市立大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
\mon[問1]2次正方行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)で，(A-E)(A-4E)=Oを満たすものを考える．ただし，a,b,c,dはそれぞれ正の整数とする．
\mon[(1)]a+d=5であることを示せ．
\mon[(2)]このようなAをすべて求めよ．
\mon[問2]
a1=1,a_{n+1}=\frac{9}{6-an}(n=1,2,3,・・・)
で定義される数列{an}を考える．
\mon[(1)]すべての正の整数nに対し，an＜3が成・・・

　公立 京都府立大学 2010年 第4問

Aを成分が実数である2次の正方行列，Eを2次の単位行列とする．数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める．bn=Σ_{k=1}nakとおく．また，座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・

　公立 会津大学 2010年 第2問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&3b\
0&b
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a&b\
0&b
\end{array})に対して以下の問いに答えよ．ただし，nを自然数とし，a≠0,b≠0とする．
(1)AB^{-1}を求めよ．
(2)(AB^{-1})nを求めよ．
(3)P(AB^{-1})n=(\begin{array}{cc}
8&3\
1&2
\end{array})が成り立つとき，行列Pを求めよ．

　公立 富山県立大学 2010年 第4問

A,B,Cが同じ次数の正方行列で，A+B+C=OかつAB=BC=CAが成り立つとき，次の等式を証明せよ．ただし，Oは零行列である．
(1)A2=B2=C2
(2)BA=CB=AC
(3)ABC=CBA