「法線」について

　国立 茨城大学 2015年 第3問

曲線C1:y=logx(x＞0)と曲線C2:y=-x2+aを考える．ただし，logは自然対数を表す．以下の各問に答えよ．
(1)曲線C1上の点P(t,logt)における法線ℓの方程式を求めよ．ただし，曲線上の点Pにおける法線とは，点Pを通り，点Pにおける接線に垂直に交わる直線のことである．
(2)(1)で求めた法線ℓと曲線C2が接するとき，aの値をtを用いて表せ．また，C2とℓが接する点Qの座標をtを用いて表せ．
(3)(2)で求めた点Qを通りy・・・

　国立 埼玉大学 2014年 第3問

f(x)=x3-1/2xとする．曲線C:y=f(x)上に2点P(t,f(t))，Q(-t,f(-t))(t＞0)をとり，点Pにおける接線と法線，および，点Qにおける接線と法線によって囲まれる図形をAとする．
(1)点Pにおける接線をℓ1，法線をℓ2とし，原点(0,0)とℓ1，ℓ2との距離をそれぞれd1，d2とおく．d1，d2をtを用いて表せ．
(2)(1)で定めたd1，d2に対し，d1=d2となるようなtの値をすべて求めよ．
(3)(2)で・・・

　国立 埼玉大学 2014年 第3問

f(x)=x3-1/2xとする．曲線C:y=f(x)上に2点P(t,f(t))，Q(-t,f(-t))(t＞0)をとり，点Pにおける接線と法線，および，点Qにおける接線と法線によって囲まれる図形をAとする．
(1)点Pにおける接線をℓ1，法線をℓ2とし，原点(0,0)とℓ1，ℓ2との距離をそれぞれd1,d2とおく．d1,d2をtを用いて表せ．
(2)(1)で定めたd1,d2に対し，d1=d2となるようなtの値をすべて求めよ．
(3)(2)で・・・

　国立 茨城大学 2014年 第1問

区間0＜x＜πで関数y=f(x)=cos(√2x)を考え，そのグラフをCとする．C上の点P(θ,cos(√2θ))におけるCの法線をℓ，ℓとx軸との交点をQ，点Pと点Qの距離をg(θ)とする．ただし，点PにおけるCの法線とは，点Pを通りかつPでのCの接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．
(1)f(x)の増減の様子を調べ，Cの概形をかけ．さらに，f(x)の最小値を与えるxの値，およびCとx軸との交点のx・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第3問

以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．また(3)(ii)に答えなさい．
放物線y=1/2x2+1/2をCで表す．C上にない点P(X,Y)(　ただし　Y＜1/2X2+1/2)からCに引いた2本の接線のうち，接点のx座標が小さい方をℓ1とし，大きい方をℓ2とする．またℓ1，ℓ2とCとの接点をそれぞれQ1，Q2とする．

(1)接線\・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第5問

以下の[ト]，[ナ]，[ニ]には三角関数はsinθとcosθのみを用いて記入し，[ヌ]にはxの式，[ネ]にはyの式を記入すること．
座標平面上の2点(1,0)，(0,1)を結ぶ曲線Cが媒介変数θを用いて
{\begin{array}{l}
x=f(θ)\
y=g(θ)
\end{array}.(0≦θ≦π/2)
と表されているとする．いま，関数f(θ)，g(θ)は0≦θ≦・・・

　私立 北里大学 2014年 第1問

つぎの[]にあてはまる答を記せ．
(1)空間に4点A(5,1,3)，B(4,4,3)，C(2,3,5)，D(4,1,3)がある．
(i)ベクトルDAとベクトルDBのなす角をθとおくとき，θ=[ア]である．ただし，0°≦θ≦{180}°とする．
(ii)四面体ABCDの体積は[イ]である．
(2)aを実数とする．xについての2次方程式x2-2xlog2{(a+1)(a-5)}+4=0の・・・

　私立 北里大学 2014年 第3問

aは0＜a＜eを満たす定数とする．曲線y=logx上の点A(a,loga)における接線をℓ，法線をmとおく．以下の問に答えよ．必要ならばe=\lim_{k→0}(1+k)^{1/k}で，2.718＜e＜2.719であることを用いてよい．
(1)接線ℓの方程式をaを用いて表せ．
(2)接線ℓがx軸と交わる点をP，y軸と交わる点をQとし，原点をOとする．三角形OPQの面積をS(a)とおくとき，S(a)をaを用いて表せ．
(3)aが0＜a＜eの範囲を動くとき，(2)・・・

　私立 同志社大学 2014年 第4問

Oを原点とする座標平面において，曲線C1:y=logx+logtと曲線C2:y=ax2を考える．ただしaとtは正の実数である．曲線C1とC2は共有点Pを持ち，また，PにおけるC1とC2の接線が一致するものとする．次の問いに答えよ．
(1)Pのx座標をx0とする．x0,a,tの間に成立する関係式を書け．
(2)x0とaをそれぞれtを用いて表せ．
(3)PにおけるC2の法線をℓとする．また，ℓとx軸の交点をQ，ℓとy軸の交点をR・・・

　私立 同志社大学 2014年 第4問

曲線C1:y=1-1/2x2上を動く点Pの座標を(x0,y0)とする．点Pにおける曲線C1の法線上にあり，点Pからの距離が1の点でy＞1-1/2x2を満たす点をQ(x1,y1)とする．また，2点P，Qを通る直線がx軸の正の向きとなす角をθ(0＜θ＜π)とする．次の問いに答えよ．
(1)θ≠π/2のとき，tanθをx0を用いて表せ．
(2)x0とy0をcosθと\s・・・