「法線」について

　私立 津田塾大学 2012年 第3問

曲線y=1-x2をCとする．
(1)C上の点(t,1-t2)における法線の方程式を求めよ．
(2)Cの法線で原点を通るものの本数を求めよ．
(3)点(a,0)を通るCの法線がただ1本であるためのaの条件を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2012年 第4問

曲線C:y=(logx-2log2)logxについて次の問いに答えよ．
(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線Cの概形をかけ．曲線Cがx軸およびy軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線とx軸との交点Pおよび法線とx軸との交点Qの座標を求めよ．
(3)原点をOとし，変曲点からx軸に下ろした垂線がx軸と交わる点をRとする．線分OP・・・

　公立 横浜市立大学 2012年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)aを正の定数として，関数f(x)をf(x)=log(\sqrt{a2+x2}-x)とおく．f(x)を微分して，多項式
f(0)+f´(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x3
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線C:y=sinx(0＜x＜π/2)上の点P(a,sina)におけるCの法線がx軸と交わる点をQとする．線分PQを直径とする円が，x軸と交わるQ以外の点をRとする．このと・・・

　国立 信州大学 2011年 第6問

曲線y=ex上の点Aにおける接線と法線がx軸と交わる点を，それぞれB，Cとする．△ABCの面積が5のとき，△ABCの外心の座標を求めよ．

　国立 電気通信大学 2011年 第4問

直線ℓ:y=2xの法線ベクトルをベクトルn=(a,b)とし，点P(x,y)と直線ℓとの距離をhとする．ただし，|ベクトルn|=1で，a＞0とする．以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルnの成分a,bを求めよ．
(2)原点をOとし，ベクトル0でないベクトルOPに対し，ベクトルOPとベクトルnのなす角をθとする．このとき，hを|ベクトルOP|とθを用いて表せ．また，hをx,yを用いて表せ．
以下では，曲線Cを，点A(1,0)と直線ℓからの距離が等しい点P(x,y)の・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

xy-平面上の放物線y=x2をCとする．以下の問に答えよ．
(1)C上の点(a,a2)におけるCの法線の方程式を求めよ．
(2)点(1,2)を通るCの法線の数を求めよ．
(3)点(t,t+1/2)を通るCの法線の数が2となるためのtに対する条件を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第4問

xy-平面上の原点をOとし，楕円\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞b＞0)をEとする．E上の点P(s,t)におけるEの法線とx軸との交点をQとする．点Pがs＞0,t＞0の範囲を動くとき，∠OPQが最大になる点Pを求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第2問

放物線C:y=x2の点A(a,a2)(a＞0)における法線をℓとする．次の問いに答えよ．
(1)直線ℓと放物線Cで囲まれる図形の面積Sを求めよ．
(2)直線ℓと放物線Cの2つの交点をA，Bとする．点A，BにおけるCの接線の交点Pの座標を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2011年 第3問

座標平面内において，楕円x2+\frac{y2}{3}=1のx≧0,y≧0の部分の曲線をCとする．x0＞0,y0＞0とし，曲線C上に点P(x0,y0)をとり，点Pにおける曲線Cの法線をℓとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ℓとx軸との交点を(x1,0)とするとき，x1をx0,y0を用いて表せ．
(2)x0=cosθ,y0=√3sinθと表す．このとき，曲線Cと直線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積S(θ)をθを用いて表せ．ただし，\dis・・・

　国立 名古屋工業大学 2010年 第4問

関数f(x)=\frac{logx}{x√x}(x＞1)に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底eの値は2＜e＜3であることを用いてよい．
(1)関数f(x)の増減を調べよ．
(2)曲線y=f(x)上の点P(t,f(t))における法線ℓの方程式を求めよ．
(3)点Pからx軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線ℓとx軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．