「法線」について

　国立 福井大学 2010年 第4問

kを実数とする．Oを原点とする座標平面上の曲線C:y=logx-kについて，Cの接線のうちOを通るものをℓ1とし，その接点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)ℓ1の方程式を，kを用いて表せ．
(2)点PにおけるCの法線をℓ2とし，ℓ2とx軸との交点のx座標をαとおく．αをkを用いて表せ．さらに，αが最小となるkの値およびαの最小値を求めよ．
(3)kを(2)で求めた値とするとき，Cとℓ1およびx軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 鳥取大学 2010年 第2問

xy平面における原点Oと点A(3,2)に対して，次の問いに答えよ．
(1)傾きが4/3で，点Aを通る直線ℓの方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線ℓの点Aにおける法線をmとする．直線mの方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた直線ℓとx軸との交点をB，(2)で求めた直線mとy軸との交点をCとする．図形OBACをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2010年 第4問

曲線C:y=(x-3)√x(x＞0)の法線を考える．ただし，曲線C上の点Pにおける法線とは，点Pを通り，この曲線上の点Pにおける接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)関数y=(x-3)√x(x＞0)の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線C上の点(t,(t-3)√t)における法線の方程式を求めよ．
(3)aを正の定数とするとき，点(a,0)を通る法線の本数を調べよ．

　公立 京都府立大学 2010年 第3問

定数aを正の実数とする．放物線C:y=ax2上の点Pのx座標をtとする．PにおけるCの法線をℓとし，Cとℓで囲まれた部分の面積をSとする．ただし，t＞0とする．以下の問いに答えよ．
(1)CとℓのP以外の交点をQとする．Qのx座標をa,tを用いて表せ．
(2)Sをa,tを用いて表せ．
(3)Sが最小となるときのtをaを用いて表せ．