「漸化式」について

　国立 信州大学 2015年 第5問

円x2+(y-1)2=1をC，円(x-2)2+(y-1)2=1をC0とする．C，C0，x軸に接する円をC1とする．C，C1，x軸に接しC0と異なる円をC2とし，これを繰り返してC，Cn，x軸に接しC_{n-1}と異なる円をC_{n+1}とする．また，円Cnの半径をanとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)bn=\frac{1}{\sqrt{an}}とするとき，数列{bn}の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 信州大学 2015年 第4問

円x2+(y-1)2=1をC，円(x-2)2+(y-1)2=1をC0とする．C，C0，x軸に接する円をC1とする．C，C1，x軸に接しC0と異なる円をC2とし，これを繰り返してC，Cn，x軸に接しC_{n-1}と異なる円をC_{n+1}とする．また，円Cnの半径をanとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)bn=\frac{1}{\sqrt{an}}とするとき，数列{bn}の満たす漸化式を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

cを定数とし，数列{an}を
an=\frac{c+Σ_{k=1}n2k}{2n}(n=1,2,3,・・・)
で定める．
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+1}=[1]+\frac{an}{[2]}(n=1,2,3,・・・)
を満たす．
(2)anをnの式で表すと
an=2-\frac{[3]-c}{2n}(n=1,2,3,・・・)
となる．ゆえに，c=[4]のとき数列{an}は公比1の等比数列になる．
(3)c=1とする．anが1.99を超えない最大のnは[5]である．
(4)c=-38・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第4問

数列{an}，{bn}が以下の漸化式をみたすとする．
a1=10,b1=24,a_{n+1}=2an-8,b_{n+1}=1/2bn+6(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．
(1)数列{an},{bn}の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)3辺の長さが，それぞれa2,b2,6である三角形は存在しないことを示せ．
(3)3辺の長さが，それぞれan,bn,6である三角形が存在するようなnの値をすべて求めよ．

　国立 静岡大学 2014年 第3問

pを0＜p＜1/6を満たす実数とする．次のように数列{an}を帰納的に定義する．a1=0とし，第n項anを用いた関数
fn(x)=2x3-3px2+6anx-1
が極大値と極小値をもつならば，第n+1項a_{n+1}をfn(x)の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，a_{n+1}=0と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f1(x)が極大値と極小値をもつことを示し，a2をpを用いて表せ．
(2)kを自然数とする．関数fk(x)が極大値と極小値をもつならば，関数f_{k+1}(x)も極・・・

　国立 北海道大学 2014年 第2問

次の条件で定められる数列{an}を考える．
a1=1,a2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+3an(n=1,2,3,・・・)
(1)以下が成立するように，実数s,t(s＞t)を定めよ．
{\begin{array}{l}
a_{n+2}-sa_{n+1}=t(a_{n+1}-san)\
a_{n+2}-ta_{n+1}=s(a_{n+1}-tan)
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
(2)一般項anを求めよ．

　国立 岡山大学 2014年 第1問

数列{an}が
{\begin{array}{l}
a1=1\
a_{n+1}-an=an(5-a_{n+1})\qquad(n=1,2,3,・・・)
\end{array}.
を満たしているとき，以下の問いに答えよ．
(1)nに関する数学的帰納法で，an＞0であることを証明せよ．
(2)bn=\frac{1}{an}とおくとき，b_{n+1}をbnを用いて表せ．
(3)anを求めよ．

　国立 岩手大学 2014年 第2問

nを自然数とし，次の漸化式で2つの数列{an}，{bn}を定める．
a1=1,a2=1,a_{n+2}=2an(n=1,2,3,・・・)
b1=1,b2=1,b3=1,b_{n+3}=3bn(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771を用いよ．
(1){an}と{bn}の最初の6項をそれぞれ求めよ．
(2)a_{n+6}=8anとなることを示せ．
(3)mを0以上の整数とするとき，a_{6m+1}とb_{6m+1}を・・・

　国立 旭川医科大学 2014年 第4問

一列に並んだ3つの部屋A，B，Cがあり，2頭の象がいる．2頭の象は毎日1つの部屋から隣の部屋に，次のルールに従って移動する．
0＜p＜1とし，象が部屋Aと部屋Bにいるとき，部屋Aにいる象は部屋Aに留まり，部屋Bにいる象が確率pで部屋Cに移る．象が部屋Bと部屋Cにいるとき，部屋Cにいる象は部屋Cに留まり，部屋Bにいる象が確率1-pで部屋Aに移る．象が部屋Aと部屋\ten{C・・・

　国立 防衛医科大学校 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)[1/3x+1]=[2x-1]を満たす実数xの範囲を求めよ．ここで，[x]はxを超えない最大の整数である．
(2)△ABCと，ベクトルMA+ベクトルMB+kベクトルMC=ベクトル0(k＞0)を満たす点Mが存在する．点Aと点Mを通る直線と辺BCの交点をNとする．3/4ベクトルBC=ベクトルBNのとき，kはいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列{an}(n=1,2,3,・・・)が，漸化式・・・