「漸化式」について

　国立 高知大学 2014年 第4問

kは1以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた2k-1枚のカードが1組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(i)カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii)ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii)当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，(i)・・・

　国立 山形大学 2014年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
7&-4\
5&-2
\end{array})について，次の問に答えよ．ただし，nは自然数とする．
(1)P=(\begin{array}{cc}
4&1\
5&1
\end{array})とするとき，P^{-1}APを求めよ．
(2)Anを求めよ．
(3)数列{an}を漸化式a1=2，a_{n+1}=\frac{7an-4}{5an-2}で定める．
(i)An=(\begin{array}{cc}
pn&qn\
rn&sn
\end{array})とおくとき，A^{n+1}=AAnである・・・

　国立 山口大学 2014年 第1問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nに対して，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し，an，bnを用いてa_{n+1}，b_{n+1}を表しなさい．
(2)cn=an+bn，dn=an-bnとおく．数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め，a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・

　国立 山口大学 2014年 第1問

一般項がan=tan\frac{π}{2^{n+1}}で与えられる数列{an}について，次の問いに答えなさい．
(1)正接の2倍角の公式tan2θ=\frac{2tanθ}{1-tan2θ}を用いて，数列{an}の漸化式を求めなさい．
(2)極限値\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{an}を求めなさい．

　国立 山口大学 2014年 第3問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nに対して，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し，an，bnを用いてa_{n+1}，b_{n+1}を表しなさい．
(2)cn=an+bn，dn=an-bnとおく．数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め，a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・

　私立 近畿大学 2014年 第3問

一般項が
an=\frac{1}{\sqrt{13}}{(\frac{1+\sqrt{13}}{2})n-(\frac{1-\sqrt{13}}{2})n}
で与えられた数列{an}を考える．
(1)この数列の初項a1の値は[ア]，第2項a2の値は[イ]である．
(2)この数列は，漸化式a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]an(n=1,2,3,・・・)を満たす．
(3)この数列の第7項a7の値は[エオ]である．
(4)この数列の初項から第n項までの和をSnで表す．このとき
a_{n+2}=[カ]+\ka・・・

　私立 安田女子大学 2014年 第4問

数列{an}がa1=4および\frac{a_{n+1}}{{a_{n}}3}=1，数列{bn}がbn=log2anで与えられるとき，次の問いに答えよ．
(1)数列{bn}に関する漸化式を求めよ．
(2)数列{bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　私立 成城大学 2014年 第3問

(1+√2)n=an+bn√2（nは自然数）を満たす整数の数列{an}，{bn}を考える．
(1)a_{n+1}，b_{n+1}のそれぞれをanとbnで表す漸化式を作れ．
(2)漸化式a_{n+1}+pb_{n+1}=q(an+pbn)を満たす実数の組(p,q)を2組求めよ．
(3)(2)で求めた2つの漸化式を解いて，一般項an,bnを求めよ．

　私立 東京理科大学 2014年 第1問

白，赤，黄，緑の4色に光るライトがある．はじめ，ライトの色は白であり，1分経過するごとに，次のルールでライトの色が変わるものとする．ただし，ライトの色が白のときについてはn=0,1,2,・・・，それ以外の色のときについてはn=1,2,・・・とする．
(i)n分後に白のとき，n+1分後ではそれぞれ1/3の確率で赤，黄，緑になる．
(ii)n分後に赤のとき，n+1分後ではそれぞれ1/3の確率で白，黄，緑になる．
\mon[\tokeis・・・

　私立 立教大学 2014年 第3問

数列{an},{bn},{cn}に対して，次の関係式が成り立っているものとする．
(\begin{array}{cc}
a_{n+1}&0\
b_{n+1}&c_{n+1}
\end{array})=(\begin{array}{cc}
2&0\
1&3
\end{array})(\begin{array}{cc}
a_{n}&0\
b_{n}&c_{n}
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
このとき，次の問に答えよ．
(1)an,cnをn,a1,c1を用いて表せ．
(2)b_{n+1}をn,a1,bnを用いて表せ．
(3)dn=\frac{b・・・