「漸化式」について

　私立 杏林大学 2013年 第4問

[オ]，[タ]，[チ]，[ト]，[ナ]の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．
条件a1=0，a2=0と漸化式
a_{n+2}-3a_{n+1}+2an=2nlog2\frac{(n+1)2}{n}・・・・・・(*)
(n=1,2,3,・・・)で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．
(1)漸化式(*)より，ベクトルベクトルbn=(\begin{array}{c}
a_{n+1}\
an
\end{array})に対して
ベクトルb_{n+1}=A\vectit{b_・・・

　私立 大阪工業大学 2013年 第3問

次の空所を埋めよ．
数列{an}がa1=2，a_{n+1}=3an-2(n=1,2,3,・・・)を満たすとき，{an}の一般項を次のようにして求めよう．
まず，a2=[ア]であり，さらに，a_{n+2}=3a_{n+1}-2より
a_{n+2}-a_{n+1}=[イ]×(a_{n+1}-an)
が成り立つ．したがって，bn=a_{n+1}-anとおくと，数列{bn}は初項[ウ]，公比[エ]の等比数列になり，一般項はbn=[オ]である．
よって，数列{an}の一般項はan=[カ]である．・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第2問

次の各問に答えよ．(2)は空欄にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)数列{an}が
an=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}(n=1,2,3,・・・)
で与えられている．このとき，和Sn=a1+a2+・・・+anを求めよ．また，Snは
Sn-S_{n-1}=(1-2S_{n-1})(1-2Sn)(n=2,3,・・・)
を満たすことを示せ．
(2)数列{bn}の和Tn=b1+b2+・・・+bnが
(*)Tn-T_{n-1}=(1-2T_{n-1})(1-2Tn)(n=2,3,・・・)
を満たしている．もし，T1=\frac{1}{・・・

　公立 首都大学東京 2013年 第3問

漸化式
a1=1,a_{n+1}=2an+n(n=1,2,3,・・・)
で定まる数列{an}について考える．以下の問いに答えなさい．
(1)bn=\frac{an}{2n}とおき，数列{bn}の階差数列を{cn}とする．すなわち，cn=b_{n+1}-bnと定める．数列{cn}の一般項を求めなさい．
(2)数列{an}の一般項を求めなさい．

　公立 北九州市立大学 2013年 第1問

初項a1=0，漸化式a_{n+1}=an+2n-15で与えられる数列{an}を考える．また，数列{an}の第1項から第n項までの和をSnとする．以下の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)an＞0を満たす最小のnを求めよ．
(3)数列{Sn}の一般項を求めよ．
(4)Sn＞anを満たす最小のnを求めよ．
(5)数列{Tn}の一般項をTn=Sn-n・anによって定める．Tnが，ある数列{bn}の第1項から第n項までの和となるとする．その数列{bn}の一般項を求めよ．
\end{en・・・

　国立 東京大学 2012年 第2問

図のように，正三角形を9つの部屋に辺で区切り，部屋P，Qを定める．1つの球が部屋Pを出発し，1秒ごとに，そのまま部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する．球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ．
\begin{center}
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(4,4)(0,0)
\put(2,3.7){\line(3,-5){2}}
\put(2,3.7){\line(-3,-5){2}}
\put(0,0.36){\line(1,0){4}}
\put(0.66,1.47){\line(1,0){2.67}}
\put(1.32,2.58){\line(1,0){1.34}}
\put(0.66,1.47){\line(3,-5){0.66}}・・・

　国立 東京大学 2012年 第3問

図のように，正三角形を9つの部屋に辺で区切り，部屋P，Qを定める．1つの球が部屋Pを出発し，1秒ごとに，そのまま部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する．球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ．
\begin{center}
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(4,4)(0,0)
\put(2,3.7){\line(3,-5){2}}
\put(2,3.7){\line(-3,-5){2}}
\put(0,0.36){\line(1,0){4}}
\put(0.66,1.47){\line(1,0){2.67}}
\put(1.32,2.58){\line(1,0){1.34}}
\put(0.66,1.47){\line(3,-5){0.66}}・・・

　国立 熊本大学 2012年 第2問

数列{an}に対して次の漸化式が成り立つとする．
a1=1,a2=3,a_{n+2}-5a_{n+1}+6an=1(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．
(1)定数cに対してbn=an+cで定められた数列{bn}を考える．
b_{n+2}-5b_{n+1}+6bn=0(n=1,2,3,・・・)
をみたすcの値を求めよ．
(2)anをnの式で表せ．

　国立 群馬大学 2012年 第3問

点Oを原点とする座標平面上に点A(2,0)と点P0(-1,0)をとる．点P0を通り，ベクトルベクトルd=(3,√3)に平行な直線をℓとする．ℓ上の点の列
P1,P2,・・・,Pn,・・・
をn=1,2,・・・について，直線OPnと直線AP_{n-1}とが垂直であるようにとる．またtnを\overrightarrow{OPn}=\overrightarrow{OP0}+tnベクトルdを満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)t1の値を求・・・

　国立 群馬大学 2012年 第3問

点Oを原点とする座標平面上に点A(2,0)と点P0(-1,0)をとる．点P0を通り，ベクトルベクトルd=(3,√3)に平行な直線をℓとする．ℓ上の点の列
P1,P2,・・・,Pn,・・・
をn=1,2,・・・について，直線OPnと直線AP_{n-1}とが垂直であるようにとる．またtnを\overrightarrow{OPn}=\overrightarrow{OP0}+tnベクトルdを満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)t1の値を求・・・