「漸化式」について

　国立 群馬大学 2012年 第2問

点Oを原点とする座標平面上に点A(2,0)と点P0(-1,0)をとる．点P0を通り，ベクトルベクトルd=(3,√3)に平行な直線をℓとする．ℓ上の点の列
P1,P2,・・・,Pn,・・・
をn=1,2,・・・について，直線OPnと直線AP_{n-1}とが垂直であるようにとる．またtnを\overrightarrow{OPn}=\overrightarrow{OP0}+tnベクトルdを満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)t1の値を求・・・

　国立 群馬大学 2012年 第3問

点Oを原点とする座標平面上に点A(2,0)と点P0(-1,0)をとる．点P0を通り，ベクトルベクトルd=(3,√3)に平行な直線をℓとする．ℓ上の点の列
P1,P2,・・・,Pn,・・・
をn=1,2,・・・について，直線OPnと直線AP_{n-1}とが垂直であるようにとる．またtnを\overrightarrow{OPn}=\overrightarrow{OP0}+tnベクトルdを満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)t1の値を求めよ．
・・・

　国立 茨城大学 2012年 第1問

数列{an}をan=\frac{1}{√5}{(\frac{3+√5}{2})^{n-1}-(\frac{3-√5}{2})^{n-1}}(n=1,2,3,・・・)と定義する．次の各問に答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4を求めよ．
(2)すべての自然数nに対して，次の漸化式が成り立つように実数p,qを定めよ．
a_{n+2}=pa_{n+1}+qan
(3)anが奇数ならa_{n+3}も奇数となり，anが偶数ならa_{n+3}も偶数となることを示せ．

　国立 浜松医科大学 2012年 第3問

nは自然数を表すとして，以下の問いに答えよ．
(1)平面を次の条件を満たすn個の直線によって分割する．
【どの直線も他のすべての直線と交わり，どの3つの直線も1点で交わらない．】
このようなn個の直線によって作られる領域の個数をL(n)とすると，L(1)=2,L(2)=4は容易にわかる．次の問いに答えよ．
(i)L(3),L(4),L(5)をそれぞれ求めよ．
(ii)L(n)の漸化式を求めよ．
(iii)L(n)を求めよ．
(2)平・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第2問

初項をa0≧0とし、以下の漸化式で定まる数列{an}_{n=0,1,・・・}を考える．
a_{n+1}=an-[\sqrt{an}]\qquad(n≧0)
ただし，[x]はxを超えない最大の整数を表す．つぎの問に答えよ．
(1)a0=24とする．このとき，an=0となる最小のnを求めよ．
(2)mを2以上の整数とし，a0=m2とする．このとき，1≦j≦mをみたすjに対してa_{2j-1},a_{2j}をjとmで表せ．
(3)mを2以上の整数，pを1≦p≦m-1をみたす整数・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)実数a,bが0≦a≦π，a＜bをみたすとき，
I(a,b)=∫abe^{-x}sinx\;dx
とおく．ただし，eは自然対数の底とする．
\lim_{b→∞}I(a,b)=0
が成立するようにaを定めよ．
(2)行列A=
\begin{pmatrix}
\;\;\;a&b\;\;\;\;\\
\;\;\;c&d\;\;\;\;
\end{pmatrix}
はad-bc=2およびa+d=3をみたし，かつ，ある行列
B=
\begin{pmatrix}
\;\;\;1&1\;\;\;\;\\
\;\;\;0&1\;\;\;\;
\end{pmatrix}
\b・・・

　私立 明治大学 2012年 第1問

空欄[]に当てはまるものを入れよ．
(1)5個の数字0，1，2，3，4を並べて5桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，57番目の整数は\fbox{\footnotesize\phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}である．また，偶数である整数は[カキ]個あり，4の倍数である整数は[クケ]個ある．
(2)次の連立方程式
{\begin{array}{l}
logxy+2logyx=3\
logx(y2+xy)=2
\end{array}.
の解はx=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{\ka・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)x=\frac{√5-1}{√5+1},y=\frac{√5+1}{√5-1}のとき，x3+y3の値は[ア]である．
(2)互いに異なる定数a,b,cが\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}を満たすとき，\frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}のとる値は[イ]である．ただし，abc≠0とする．
(3)白玉3個と黒玉3個が入っている袋から玉を1個取り出し，色を調べてもとに戻す．この試行を3回繰・・・

　私立 東北学院大学 2012年 第6問

次の漸化式で定義される数列an(n=1,2,・・・)について，次の問いに答えよ．
a1=0,a2=1,a_{n+2}-5a_{n+1}+6an=0
(1)数列bn,cnをbn=a_{n+1}-2an,cn=a_{n+1}-3anと定義するとき，bn,cnの満たす漸化式を求めよ．
(2)数列bn,cnの一般項を求めよ．
(3)数列anの一般項を求めよ．

　私立 藤田保健衛生大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)連立1次方程式
{\begin{array}{l}
5x-y=kx\
6x-2y=ky
\end{array}.
が(x,y)=(0,0)以外の解をもつようなkをk1,k2（ただしk1＜k2）とおくと，k1=[7]，k2=[8]である．
(2)(1)で求めたk1に対して(x,y)=(1,a)，k2に対して(x,y)=(b,1)が各々上の連立1次方程式を満たすとき，行列AとPを
A=(\begin{array}{cc}
5&-1\
6&-2
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
1&b\・・・