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数列{an},{bn}は次の性質を満たすものとする.
\begin{itemize}
a1=3,b1=2
a_{n+1}=6an-bn,b_{n+1}=2an+3bn(n=1,2,3,・・・)
\end{itemize}
このとき,次の問いに答えよ.
(1)cn=-an+bn,dn=2an-bn(n=1,2,3,・・・)で定められる数列{cn},{dn}が満たす漸化式を求めよ.
(2)(1)で定めたcn,dnを求めよ.
(3)an,bnを求めよ.
国立 埼玉大学 2010年 第3問数列{an}が漸化式
a_{n+2}=-a_{n+1}+2an,a1=-1,a2=3
で定められているとする.pn=a_{n+1}-an,qn=a_{n+1}+2anとおく.
(1)p_{n+1}=-2pn,q_{n+1}=qnとなることを示し,数列{pn}の一般項と数列{qn}の一般項を求めよ.
(2)数列{an}の一般項を求めよ.
(3)数列{bn}は漸化式
b_{n+2}=-b_{n+1}+2bn+1,b1=0,b2=3
で定められているとする.b_{n+1}-bn=a_{n+1}となることを示し,数列{bn}の一般項を求めよ.
国立 弘前大学 2010年 第2問数列{an}が
a1=4,a_{n+1}=\frac{4an+3}{an+2}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとき,次の問いに答えよ.
(1)bn=\frac{an-3}{an+1}とおくとき,数列{bn}の漸化式を求めよ.
(2)数列{an}の一般項を求めよ.
国立 山口大学 2010年 第2問次の初項と漸化式で定まる数列{an}を考える.
a1=1/2,a_{n+1}=e^{-an}(n=1,2,3,・・・)
ここで,eは自然対数の底で,1<e<3である.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)すべての自然数nについて1/3<an<1が成り立つことを示しなさい.
(2)方程式x=e^{-x}はただ1つの実数解をもつことと,その解は1/3と1の間にあることを示しなさい.
(3)関数f(x)=e^{-x}に平均値の定理を用いることによって,次の不等式が成り立つこと・・・
国立 大阪教育大学 2010年 第2問自然数nに対して,
In=∫0^{π/2}sinnxdx
とおく.次の問に答えよ.
(1)定積分I1,I2,I3を求めよ.
(2)次の不等式を証明せよ.
In≧I_{n+1}
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ.
I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}In
(4)次の極限値を求めよ.
\lim_{n→∞}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}
国立 大阪教育大学 2010年 第4問点Pは数直線上の原点から出発して,「確率pで+1,確率1-pで+2」の移動を繰り返す.ただし0≦p≦1とする.このような移動を繰り返して自然数nの点に到達する確率をpnと表す.次の問に答えよ.
(1)p1,p2,p3をpを用いて表せ.
(2)pn,p_{n+1},p_{n+2}の間の関係式を求めよ.
(3)an=p_{n+1}-pn(n≧1)とおくとき,数列{an}が満たす漸化式を求めよ.
(4)pとnを用いて,一般項pnを表せ.
(5)数列{pn}の極限を調べよ.
私立 北海学園大学 2010年 第4問初項a1=2および漸化式
a_{n+1}=ran+(1-r)n+1(n=1,2,3,・・・)
によって定義される数列{an}がある.ただし,r≠0とする.
(1)bn=a_{n+1}-an-1(n=1,2,3,・・・)とおくとき,b_{n+1}をbnを用いた式で表せ.さらに,数列{bn}の一般項bnを求めよ.
(2)数列{an}の一般項anを求めよ.
(3)cn=a_{n+1}-2an(n=1,2,3,・・・)とおく.数列{cn}が等差数列となるようなrの値を求めよ.
公立 京都府立大学 2010年 第4問Aを成分が実数である2次の正方行列,Eを2次の単位行列とする.数列{an}を漸化式
a1=1,a_{n+1}=an+2n,(n=1,2,・・・)
によって定める.bn=Σ_{k=1}nakとおく.また,座標平面上の点Pn(xn,yn)を
\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr),\biggl(\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{array}\biggr)=A^{bn}\biggl(\begin{array}{c}
x1\\
y1
\end{array}\biggr),(n=1,2・・・