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以下の問いに答えよ．
(1)√2と\sqrt[3]{3}が無理数であることを示せ．
(2)p,q,√2p+\sqrt[3]{3}qがすべて有理数であるとする．そのとき，p=q=0であることを示せ．
国立 名古屋工業大学 2015年 第2問2つの関数
f(x)=\frac{2}{2x+3},g(x)=\frac{2x+1}{-x+2}
がある．
(1)関数g(x)の逆関数g^{-1}(x)を求めよ．
(2)合成関数g^{-1}(f(g(x)))を求めよ．
(3)実数cが無理数であるとき，f(c)は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=g(√2),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)
(5)(4)で定められた数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．
国立 筑波大学 2014年 第4問平面上の直線ℓに同じ側で接する2つの円C1，C2があり，C1とC2も互いに外接している．ℓ，C1，C2で囲まれた領域内に，これら3つと互いに接する円C3を作る．同様にℓ，Cn，C_{n+1}(n=1,2,3,・・・)で囲まれた領域内にあり，これら3つと互いに接する円をC_{n+2}とする．円Cnの半径をrnとし，xn=\frac{1}{\sqrt{rn}}とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，r1=16，r2=9とする．
(1)ℓがC1，C2，C3と接する点を，・・・
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形ABCにおいて辺AB上に点Dを，辺AC上に点Eをとり，線分BEと線分CDの交点をFとする．点A，D，E，Fが同一円周上にあり，さらに角のあいだに
∠AEB=2∠ABE=4∠ACD
という関係が成り立つとき，∠BACの値を求めよ．
(2)4個のさいころを同時に投げるとき，3の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数x,yに関する次の各・・・
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形ABCにおいて辺AB上に点Dを，辺AC上に点Eをとり，線分BEと線分CDの交点をFとする．点A，D，E，Fが同一円周上にあり，さらに角のあいだに
∠AEB=2∠ABE=4∠ACD
という関係が成り立つとき，∠BACの値を求めよ．
(2)4個のさいころを同時に投げるとき，3の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数x,yに関する次の各・・・
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形ABCにおいて辺AB上に点Dを，辺AC上に点Eをとり，線分BEと線分CDの交点をFとする．点A，D，E，Fが同一円周上にあり，さらに角のあいだに
∠AEB=2∠ABE=4∠ACD
という関係が成り立つとき，∠BACの値を求めよ．
(2)4個のさいころを同時に投げるとき，3の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数x,yに関する次の各・・・
国立 福井大学 2014年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)nを正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i)等式∫01tnetdt=ane+bnが成り立つ整数an，bnがただ1組存在することを示せ．
(ii)a_{n+1}bn-anb_{n+1}の値を求めよ．
(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し，等式∫0^{π/2}f(x)dx=\in・・・
国立 山口大学 2014年 第3問次の問いに答えなさい．
(1)2つの整数a,bが1+√2=a+b√2を満たすならば，a=b=1であることを示しなさい．ただし，√2が無理数であることは示さなくてよい．
(2)kを自然数とする．2つの整数a,bが(1+√2)^{k+1}=a+b√2を満たしているとき，(1+√2)k=a´+b´√2を満たす整数a´,b´をa,bを用いて表しなさい．
(3)すべての自然数nに対して，
命題「2つの整数a,bが(1+√2)n=a+b√2を満たしている・・・
私立 慶應義塾大学 2014年 第5問次の設問に答えなさい．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i)√5は無理数である．
(ii)r,sがともに有理数ならば，積rsは有理数である．
(iii)αが無理数で，rが0でない有理数ならば，積αrは無理数である．
\mon[\tokeishi]α,βがともに無理数ならば，積αβは無理数である．
\end・・・
公立 岩手県立大学 2014年 第2問以下の問いに答えなさい．
sinθ-cosθが無理数であることを示したい．ここで，θは以下を満たすものとする．
sinθcosθ=1/4 ただし， 1/4π＜θ＜1/2π
(1)θの値を答えなさい．
(2)sinθ-cosθの値を答えなさい．
(3)(2)で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば√2と√3が無理数であることを利用してもよい．
