「無限級数」について

　国立 神戸大学 2015年 第4問

a,bを実数とし，自然数kに対してxk=\frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}とする．以下の問に答えよ．
(1)xk=p/k+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}がすべての自然数kについて成り立つような実数p,q,rを，a,bを用いて表せ．
(2)b=0のとき，3以上の自然数nに対してΣ_{k=1}nxkを求めよ．
また，a=0のとき，4以上の自然数nに対してΣ_{k=1}nxkを求めよ．
(3)無限級数Σ_{k=1}^∞xk・・・

　国立 宮城教育大学 2015年 第1問

p,qを自然数として，p＞qとする．等差数列{an}の初項から第n項までの和をSnとするとき，Sp=p/q，Sq=q/pが成り立つとする．次の問に答えよ．
(1)数列{an}の初項と公差をp,qを用いて表せ．
(2)自然数mに対して，数列{an}の初項から第2m項までの和の逆数をbmとする．このとき，数列{bn}の初項から第n項までの和を求めよ．
(3)(2)の数列{bn}について無限級数Σ_{n=1}^∞bnの和が48であり・・・

　国立 群馬大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項がan=3/2・{(-1)}n+5/2で与えられるとき，無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{an}{7n}の和を求めよ．
(2)すべての自然数nに対してbnは0≦bn≦6を満たす整数で，Σ_{n=1}^∞\frac{bn}{7n}=3/8が成り立つ．このときb1,b2,b3を求め，さらに数列{bn}の一般項を求めよ．

　公立 岡山県立大学 2015年 第2問

数列{an}の初項から第n項までの和Snが
Sn=\frac{an}{n+1}+1(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)一般項anを求めよ．
(3)無限級数Σ_{n=1}^∞anの和を求めよ．

　国立 静岡大学 2014年 第4問

αを実数とする．2つの関数f(x)=e^{-x}(sinx-cosx)とg(x)=αe^{-x}について，次の問いに答えよ．
(1)∫f(x)dx=-e^{-x}sinx+Cであることを示せ．ただし，Cは積分定数である．
(2)すべてのx≧0についてf(x)≦g(x)が成り立つようなαの値の最小値を求めよ．
(3)αを(2)で求めた最小値とする．曲線y=f(x)(x≧0)と曲線y=g(x)(x≧0)との共有点のx座標を小さい方から順にa0,a1,a2,・・・とし，nが自然・・・

　国立 信州大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)0＜θ＜πのとき，不等式cos3θ+4cos2θ＜0を満たすθの値の範囲を求めよ．
(2)三角形ABCにおいて，辺ABを2:1に内分する点をD，辺ACの中点をEとする．2直線BEとCDの交点をPとするとき，ベクトルベクトルAPをベクトルABとベクトルACを用いて表せ．
(3)無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{1}{2+4+6+・・・+2n}の和を求めよ．
{\bf補足説明}
設問中・・・

　国立 徳島大学 2014年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2+2mx+m2+2m-8=0が異なる2つの負の解をもつとき，定数mの範囲を求めよ．
(2)数列{an}は初項1，公比r(0＜r＜1)の等比数列である．数列{bn}はa_{n+1}=\frac{(an)^{4/3}}{\sqrt{bn}}を満たす．数列{bn}の一般項および無限級数Σ_{n=1}^∞bnの和を求めよ．

　国立 徳島大学 2014年 第4問

x0=1，y0=0とする．nが自然数のとき，座標平面上の点P_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})は行列(\begin{array}{cc}
1/2&-2/3\
2/3&1/2
\end{array})の表す1次変換によって点Pn(xn,yn)に移されるとする．点P_{n-1}と点Pnの距離をlnとする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)l1を求めよ．
(2)lnをx_{n-1},y_{n-1}の式で表せ．
(3)\frac{l・・・

　国立 防衛医科大学校 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)[1/3x+1]=[2x-1]を満たす実数xの範囲を求めよ．ここで，[x]はxを超えない最大の整数である．
(2)△ABCと，ベクトルMA+ベクトルMB+kベクトルMC=ベクトル0(k＞0)を満たす点Mが存在する．点Aと点Mを通る直線と辺BCの交点をNとする．3/4ベクトルBC=ベクトルBNのとき，kはいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列{an}(n=1,2,3,・・・)が，漸化式・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2014年 第3問

関数f(x)=e^{-√3x}(1-cosx)を考える．自然数nに対し，区間2(n-1)π≦x≦2nπにおける関数f(x)の最大値をAnとする．
(1)A1を求めよ．
(2)自然数nに対し，Anをnを用いて表せ．
(3)無限級数Σ_{n=1}^∞Anの和を求めよ．