「無限級数」について

　国立 山形大学 2012年 第3問

自然数nに対して
S(x)=Σ_{k=1}n(-1)^{k-1}x^{2k-2},R(x)=\frac{(-1)nx^{2n}}{1+x2}
とする．さらにf(x)=\frac{1}{1+x2}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)等式∫01S(x)dx=Σ_{k=1}n(-1)^{k-1}\frac{1}{2k-1}が成り立つことを示せ．
(2)定積分∫01f(x)dxの値を求めよ．
(3)等式S(x)=f(x)-R(x)が成り立つことを示せ．
(4)不等式|∫01R(x)dx|≦\frac{1}{2n+1}が成り立つことを・・・

　国立 福岡教育大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)無限級数
1+\frac{1}{1+ex}+\frac{1}{(1+ex)2}+・・・+\frac{1}{(1+ex)n}+・・・
はすべての実数xについて収束することを示し，その和を求めよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(2)(1)で求めた無限級数の和をf(x)とする．方程式logf(x)=xを解け．ただし，対数は自然対数とする．

　国立 山梨大学 2012年 第1問

次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数f(x)がpを周期とする周期関数であるとは，すべてのxで等式[]が成立することである．関数g(x)=sin2(5x+π/3)の正の最小の周期は[]である．
(2)実数xが-π＜x≦πのとき，無限級数Σ_{k=1}^∞sinkxが収束する条件は，xの値が[]以外のときであり，収束するときの無限級数の和は[]である．
(3)∫_{-10}0\frac{1}{・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)無限級数Σ_{n=1}^{∞}\frac{1}{n(n+2)}の和は\frac{[チ]}{[ツ]}である．\\
ただし，[ツ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)行列
A=\frac{1}{√2}\biggl(\begin{array}{cc}
1&-1\\
1&1
\end{array}\biggr)
に対して，
An=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)
となる最小の自然数nは[テ]である．
(3)∫0^{π/2}(2-x2sin・・・

　私立 中央大学 2012年 第4問

f(x)=sin(log1/x)(0＜x≦1)とおく．f(x)=0となるすべてのxを，大きい順にa0,a1,a2,・・・とする．以下の問いに答えよ．
(1)an(n=0,1,2,・・・)を求めよ．
(2)正の定数a,bに対し
d/dx(Ae^{-ax}cosbx+Be^{-ax}sinbx)=e^{-ax}cosbx
を満たす定数A,Bを求め，不定積分
∫e^{-ax}cosbxdx
を求めよ．
(3)bn=∫_{a_{n+1}}^{an}{f(x)}2dx(n=0,1,2,\cdo・・・

　公立 高知工科大学 2012年 第3問

右図のようにAB=ACである二等辺三角形ABCにおいて，∠Aの\
二等分線と辺BCの交点をHとし，θ=∠BAH，AH=1とする．\
△ABCの内接円C1から始めて，2辺AB，ACに接し，かつ，隣り\
合う2円が互いに外接する円の列C1,C2,C3,・・・を三角形の中に\
作り，その半径をr1,r2,r3,・・・，面積をS1,S2,S3,・・・とする．\
このとき，次の各問に答えよ．
\img{67624220121}{45}
\・・・

　国立 弘前大学 2011年 第2問

nを自然数とし，
Sn=∫_{(n-1)π}^{nπ}e^{-x}(|sinx|+1)\;dx
とする．ただし，eは自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)e^{-x}(sinx+cosx)を微分せよ．
(2)Snおよび無限級数Σ_{n=1}^∞Snの和を求めよ．

　国立 電気通信大学 2011年 第2問

x＞0において関数
f(x)=sin(logx)
を考える．\\
方程式f(x)=0の0＜x≦1における解を大きいほうから順にならべて，
1=α1＞α2＞α3＞・・・＞αn＞α_{n+1}＞・・・
とする．以下の問いに答えよ．ただし，logxはeを底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(1)不定積分I(x),J(x)をそれぞれ
I(x)=∫exsinxdx,J(x)=∫excosxdx
とおくとき，I(x)+J(x),I(x)-J(x)を求めよ．
(2)・・・

　国立 山梨大学 2011年 第5問

放物線C:y=x2上の点P1の座標を(1,1)とする．定数k(0＜k＜1)に対して，P1と点(0,k)を通る直線とCとの交点をP2とする．ただし，P2はP1とは異なる点とする．P2と点(0,k2)を通る直線とCとの交点をP3とする．ただし，P3はP2とは異なる点とする．以下同様にして，自然数nに対し，Pnと点(0,kn)を通る直線とCとの交点をP_{n+1}とする．ただし，P_{n+1}はPnとは異なる点とする．
\begin{enumerate・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2011年 第1問

三角形A0B0Cは辺A0B0の長さがa，∠A0=60°，∠B0=90°の直角三角形であり，三角形{A0}´{B0}´C´は辺{A0}´{B0}´の長さがa，∠{A0}´=45°，∠{B0}´=90°の直角三角形である．右図に示すように三角形A0B0Cの3つの辺上にそれぞれ点D1，A1，B1をとり，正方形B0D1・・・