「球面」について

　私立 同志社大学 2014年 第2問

座標空間内の球面x2+y2+z2=9上に3点A(3,0,0)，B(2,1,2)，C(1,-2,2)をとる．次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積を求めよ．
(2)3点A，B，Cを通る平面に，原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ．
(3)球面上を動く点Pを頂点とする四面体PABCを考え，その体積をVとする．Vの最大値と，そのときの点Pの座標を求めよ．

　私立 杏林大学 2014年 第3問

[ケ]，[ヌ]，[ネ]の解答は解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．
3点A，B，Cがそれぞれx軸，y軸，z軸上にあり，原点Oを頂点に持つ3つの三角形OAB，OBC，OCAの面積の比が1:√3:√5となっている．三角形ABCを含む平面をαとする．
(1)平面α上にある点Pの位置ベクトルをベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOCと表わすと，s+t+u=[ア]が成り・・・

　公立 大阪市立大学 2014年 第3問

図のような三角柱ABC-DEFが中心O，半径1の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点A，B，C，D，E，Fはすべて，中心O，半径1の球面上にある．また，三角形ABCと三角形DEFは合同な正三角形で，四角形ADEB，四角形BEFC，四角形CFDAは合同な長方形であるとする．∠AOD=2α，∠AOB=2βとおく．ただし，0＜α＜π/2，0＜β＜\frac{\・・・

　国立 岩手大学 2013年 第2問

座標空間内に2点A(0,3,0)，B(0,-3,0)を直径の両端とする球面Sを考える．S上に点P(x,y,z)をとり，S外に点Q(3,4,5)をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)球面Sの方程式を求めよ．
(2)ベクトルベクトルAPとベクトルベクトルBPの内積は，点Pが球面S上のどこにあっても必ず0になることを証明せよ．
(3)原点をOで表すとき，ベクトルベクトルOQの大きさとベクトルベクトルOPの大きさを求めよ．
(4)点P(x,y,z)が球面S・・・

　国立 東京農工大学 2013年 第2問

xyz空間に点P(0,0,5)がある．次の問いに答えよ．
(1)球面x2+y2+(z-2)2=9と平面x=1/2が交わってできる円をCとする．Cの中心の座標と半径を求めよ．
(2)C上に点Q(1/2,s,t)をとったとき，2点P，Qを通る直線とxy平面との交点をR(X,Y,0)とする．X,Yそれぞれをs,tの式で表せ．
(3)QがC上のすべての点を動くとき，Rが描く曲線をC´とする．C´の・・・

　公立 兵庫県立大学 2013年 第4問

地球を半径1の完全な球と仮定し，その球面をSと表す．また，地球の中心O，そして，S上の，北緯30°東経60°の点A，および，南緯30°西経60°の点Bの3点を含む平面をαとする．このとき，次の問に答えなさい．
(1)点P，Qを，赤道上にあり，それぞれ，東経0°，東経90°の点とする．また，北極点を点Rとする．そこで，原点が地球の中心Oであり，さらに，点Pが(1,0,0)，点Qが(0,1,0)・・・

　公立 京都府立大学 2013年 第2問

Oを原点とするxyz空間内に5点A(-1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)，D(0,0,2)，E(0,0,4)をとる．中心がD，半径が2の球面をSとし，3点A，B，Cの定める平面をαとする．Sがαと交わってできる図形をFとする．Dからαに垂線DHを下ろす．以下の問いに答えよ．
(1)αに垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)FはHを中心とする円であることを示せ．
(3)F・・・

　国立 信州大学 2012年 第1問

次の設問に答えよ．
(1)すべての自然数nに対して\frac{1}{n2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}を満たすような定数A,Bの値を求めよ．また，無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{1}{n2+6n+8}の和を求めよ．
(2)面積が\frac{3√3}{2}の三角形ABCにおいて，AB=3,AC=2であるとき，辺BCの長さを求めよ．
(3)座標空間において，3点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)を通る平面をαとす・・・

　国立 千葉大学 2012年 第2問

AB=5,BC=7,CA=8およびOA=OB=OC=tを満たす四面体OABCがある．
(1)∠BACを求めよ．
(2)△ABCの外接円の半径を求めよ．
(3)4つの頂点O，A，B，Cが同一球面上にあるとき，その球の半径が最小になるような実数tの値を求めよ．

　国立 長崎大学 2012年 第4問

aを正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)半径aの球面に内接する円柱の高さをg，底面の半径をrとする．rをaとgを用いて表せ．
(2)(1)の円柱で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれaを用いて表せ．
(3)半径aの球面に内接する円錐がある．ただし，円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分は球の中心を通るものとする．円錐の高さをh，底面の半径をsとする．sをaとhを用いて表せ．
(4)(3)の円錐で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半・・・