「球面」について

　国立 琉球大学 2011年 第2問

中心が(2,0,1)，半径が2√5の球面がyz平面と交わってできる円をCとする．次の問いに答えよ．
(1)Cの中心の座標と半径を求めよ．
(2)点PはC上を動き，点Qはxy平面上の直線x=y上を動くとする．線分PQの長さの最小値，およびそのときのP，Qの座標を求めよ．

　私立 上智大学 2011年 第3問

xyz空間内の正四面体ABCDを考える．頂点A，B，C，Dはすべて原点Oを中心とする半径1の球面S上にある．Aの座標は(0,0,1)であり，Bのx座標は正，y座標は0である．また，Cのy座標はDのy座標より大きい．
(1)B，C，Dのz座標は\frac{[ニ]}{[ヌ]}である．
(2)Cのx座標は\frac{[ネ]}{[ノ]}\sqrt{[ハ]}・・・

　国立 金沢大学 2010年 第2問

座標空間において，中心がA(0,0,a)(a＞0)で半径がrの球面
x2+y2+(z-a)2=r2
は，点B(√5,√5,a)と点(1,0,-1)を通るものとする．次の問いに答えよ．
(1)rとaの値を求めよ．
(2)点P(cost,sint,-1)について，ベクトルベクトルABとベクトルAPを求めよ．さらに内積ベクトルAB・ベクトルAPを求めよ．
(3)△ABPの面積Sをtを用いて表せ．また，tが0≦t≦2πの範囲を動くとき，Sの最小値と，そのときのtの値を求めよ．
\end{e・・・

　国立 東京農工大学 2010年 第1問

Oを原点とする座標空間にある，中心C(1,1,\sqrt{10})，半径3√3の球面をSとする．次の問いに答えよ．
(1)Sとx軸の正の部分との交点をPとし，Sとy軸の正の部分との交点をQとする．P，Qの座標を求めよ．
(2)2点O，Cを通る直線とSとの交点のうち，z座標が正であるものをRとする．Rの座標を求めよ．
(3)四面体OPQRの体積Vを求めよ．
(4)4点O，P，Q，Rを通る球面の半径r1を求めよ．
(5)四面体OPQRに内接する球面の半径をr2とする．このとき，\frac{r1}{r2}の値を・・・

　国立 京都教育大学 2010年 第4問

中心が(0,0,1)，半径が1の球面が，yz平面に平行で点(a,0,0)(0＜a＜1)を通る平面と交わってできる図形をCとする．これに対して，次の問に答えよ．
(1)C上の点P(a,y1,z1)と点Q(0,0,2)を通る直線PQがxy平面と交わる点をR(x,y,0)とする．y1とz1のそれぞれをa,x,yを使って表せ．
(2)点PがC上を動くとき，点Rの軌跡を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2010年 第4問

空間上に相異なる4点O，A，B，Cがあり，線分OA，OB，OCは互いに直交している．次の問いに答えよ．
(1)4点O，A，B，Cからの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点をGとする．線分OAの中点をMとする．ベクトルOAとベクトルMGが直交することを用いて，
ベクトルOA・ベクトルOG=1/2|ベクトルOA|2
となることを示せ．ただし，ベクトルOA・ベクトルOGはベクトルOAと・・・

　私立 早稲田大学 2010年 第2問

2平面π1，π2がある．π1は3点(1,1,7)，(2,1,5)，(1,2,5)を通り，π2は3点(2,1,5)，(2,3,4)，(6,0,5)を通る．
(1)平面π2上の点(x,y,z)は関係式x+[ソ]y+[タ]z-[4][チ]=0を満たす．
(2)2平面π1，π2の交線は点A(-2,[ツ],[テ])を通る．
(3)2平面の交線に垂直で平面π1に平行なベクトルベクトルaは([ト],[ナ],-2)で，2平面の交線に垂直で平面π2に・・・