「直交」について

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

aを正の定数とし，座標平面において放物線C:y=ax2上の点P(t,at2)を考える．ただし，t＞0とする．点PにおけるCの接線ℓとx軸の交点をRとする．x軸上の点Qを，RP=RQを満たし，そのx座標がRのx座標より大きいものとする．
(1)点Pを通りℓと直交する直線の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)直線ℓと点Pにおいて接しx軸とも接する円で，中心が第1象限にあるものを考える．この円の中心の座標・・・

　私立 津田塾大学 2012年 第2問

空間内の4点O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,0,1)，C(1,1,2)を考える．点Pが直線OA上を動き，点Qが直線BC上を動くとする．
(1)PQ≧\frac{√2}{2}であることを示せ．
(2)PQ=\frac{√2}{2}となる点P，Qを求めよ．また，そのP，Qに対して，直線PQは直線OAおよび直線BCに直交することを示せ．

　私立 法政大学 2012年 第3問

三角形ABCにおいて，CA=CB=3，AB=4である．また，ベクトルCA=ベクトルa，ベクトルCB=ベクトルbとおく．
(1)cos∠BCA=\frac{[ア]}{[イ]}である．また，三角形ABCの外接円の半径は\frac{[ウ]\sqrt{[エ]}}{[オカ]}である．
(2)ベクトルa・ベクトルb=[キ]である．
(3)点Cを通り直線ABに直交する直線ℓとABの交点をMとすると，
ベクトルCM=\fr・・・

　私立 久留米大学 2012年 第5問

点A(2,2,3)と点B(2,4,1)の中点をM，原点をOとする．ベクトルベクトルAB，ベクトルOMともに直交する単位ベクトルベクトルtを成分表示で表すと[12]となる．また，ABを底辺とする正三角形ABCがベクトルOM⊥ベクトルMCの条件を満たすとき，頂点Cの座標は[13]となる．

　私立 聖マリアンナ医科大学 2012年 第1問

空間内に，同じ平面上にない4つの点O，A，B，Cがある．△OAB，△OACの重心をそれぞれG，G´とし，線分OCを2:3に内分する点をP，線分ABをt:(1-t)に内分する点をQとする．ただし，tは0＜t＜1なる定数である．また，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．以下の[1]から[10]に答えなさい．
このとき，ベクトルOQ=\kakko{・・・

　公立 青森公立大学 2012年 第1問

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．



(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A(5,10)，B(-2,4)がある．∠　AOB　=θとするとき，cosθ=[ア]であり，sinθ=[イ]である．また，△　AOB　の面積は[ウ]であり，内接円の半径rは[エ]である．また，外接円の半径Rは[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．

(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順にa,b,c・・・

　公立 青森公立大学 2012年 第2問

平面上のベクトルベクトルx,ベクトルyは大きさが等しく，互いに直交している．ベクトルa=(7,9)とするとき，2ベクトルx+ベクトルy=ベクトルaが成り立つ．次の問いに答えよ．



(1)内積ベクトルa・ベクトルxを内積ベクトルx・ベクトルxを用いて表せ．

(2)内積ベクトルa・ベクトルx，および内積ベクトルx・ベクトルxの値を求めよ．

(3)ベクトルベクトルx,ベクトルyの成分をすべて求めよ．

　公立 京都府立大学 2012年 第2問

関数f(x)をf(x)=x2+∫_{-1}1f(t)dtとおく．曲線y=f(x)をCとする．C上に2つの点P，Qがある．Pのx座標をa，Qのx座標をbとする．ただし，a＜bとする．PにおけるCの接線と直交しPを通る直線をℓ，QにおけるCの接線と直交しQを通る直線をm，PとQを通る直線をnとする．ℓとmの交点をRとする．∠　PRQ　=π/2とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)等式f(x)=x2+∫_{-1}1f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ・・・

　公立 滋賀県立大学 2012年 第3問

直方体OADB-CEGFにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとし，直線OGと平面DEFの交点をPとする．
(1)ベクトルOGをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表せ．
(2)ベクトルOPをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表せ．
(3)|ベクトルa|=2，|ベクトルb|=|ベクトルc|=1としたとき，ベクトルOPとベクトルAPは直交することを示せ．

　公立 福岡女子大学 2012年 第2問

放物線y=x2の2つの接線が直交しており，接点をP，Qとしそのx座標をそれぞれs,tとする．次の問に答えなさい．
(1)sとtの関係式を求めなさい．
(2)2点P，Qを結ぶ線分は，接線のとり方に関係なく常にy軸上のある定点を通ることを示しなさい．