「直交」について

　公立 福岡女子大学 2012年 第2問

放物線y=x2の2つの接線が直交しており，接点をP，Qとしそのx座標をそれぞれs,tとする．次の問に答えなさい．
(1)sとtの関係式を求めなさい．
(2)2点P，Qを結ぶ線分は，接線のとり方に関係なく常にy軸上のある定点を通ることを示しなさい．

　国立 秋田大学 2011年 第3問

平面上の相異なる3点O，A，Bに対して，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとし，ベクトルp=ベクトルa+2ベクトルb,ベクトルq=\frac{-ベクトルa+2ベクトルb}{4}とする．また，ベクトルp=ベクトルOP,ベクトルq=ベクトルOQであるような2点P，Qをとる．|ベクトルp|=4,|ベクトルq|=1であるとき，次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルa|=|ベクトルb|のとき，内積ベクトルp・ベクトルqを求めよ．
(2)2点A，Bを通る直線と，2点P，Qを通る直線が直交するとき，内積\vectit・・・

　国立 信州大学 2011年 第1問

だ円C:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞0,b＞0)の外側の点P(r,s)からCに引いた2つの接線が常に直交するとき，そのような点Pの軌跡を求めなさい．

　国立 島根大学 2011年 第1問

平面上に一辺の長さが1の正三角形OABと，辺AB上の点Cがあり，　AC　＜　BC　とする．点Aを通り直線ABに直交する直線kと，直線OCとの交点をDとする．△OCAと△ACDの面積比が1:2であるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOD=mベクトルOA+nベクトルOBとなるm,nを求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線をℓとする．ℓと直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，ベクトルEF=sベクトルOA+tベクトルOBとなるs,tを求めよ．

　国立 名古屋工業大学 2011年 第4問

rを正の定数とする．2つの曲線
C1:y=\frac{2x2}{x2+1},C2:y=\sqrt{r2-x2}
が共有点で互いに直交する接線を持つとする．
(1)共有点の座標とrの値を求めよ．
(2)C1とC2で囲まれる図形の面積Sを求めよ．

　国立 佐賀大学 2011年 第3問

xy平面上の原点をOとし，放物線y=k-x2をCとする．ただし，kは1/2より大きい定数とする．C上の点P(t,k-t2)がt≧0の範囲で動くときOPの長さが最小となるPをP0とおく．
(1)P0の座標を求めよ．
(2)OとP0を通る直線と，P0におけるCの接線が直交することを示せ．
(3)OとP0を通る直線の傾きが1のとき，kの値を求めよ．
(4)OとP0を通る直線の傾きが1のとき，xy平面の第1象限にあって，x軸，y軸および放物線Cに接する円のうち小さい方の半径を・・・

　国立 茨城大学 2011年 第3問

k=1,2に対して放物線y=x2-kx+1をCkで表す．点A(1,1)でのC1の接線に，点Aで直交している直線をℓとし，ℓとC2の交点のうちx座標が正となる点をBとする．次の各問に答えよ．
(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線C1,C2と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 山形大学 2011年 第1問

四角形ABCDが円に内接しており，∠ABC={120}°,AB=2,BC=√3-1を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，CD=a,AD=bとおき，2つの対角線AC，BDの交点をOとする．
(1)対角線ACの長さと∠ACBの大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，a,bの・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第4問

座標平面上に点A(2,0)をとる．円C:x2+y2=1上の任意の点P(cosθ,sinθ)(0≦θ＜2π)における接線をℓとする．直線ℓ上に点Qを直線AQとℓが直交するようにとる．ただし，直線ℓが点Aを通るときは，点Qは点Aであるとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)点Qの座標を，θを用いて表せ．
(2)線分PQを，点Pが原点Oに一致するように平行移動したとき，点Qが移動した点をR(θ)とする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点R(θ)は原点とする．この・・・

　国立 鹿児島大学 2011年 第6問

曲線Cは極方程式r=2cosθで定義されているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)曲線Cを直交座標(x,y)に関する方程式で表し，さらに図示せよ．
(2)点(-1,0)を通る傾きkの直線を考える．この直線が曲線Cと2点で交わるようなkの値の範囲を求めよ．
(3)(2)のもとで，2交点の中点の軌跡を求めよ．