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放物線C:y=-x2+1上の異なる2点A(a,-a2+1)，B(b,-b2+1)におけるそれぞれの接線ℓ,mが直交するとする．次の問に答えよ．
(1)任意の実数rに対して
α+β=r,αβ=-1/4
をみたす実数α,βが存在することを示せ．
(2)AとBが上の条件をみたしながら動くとき，直線ABがAとBの取り方によらず常に通る点の座標を求めよ．
(3)ℓとmの交点の軌跡を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第5問aを0でない実数とする．2つの異なる曲線
C1:y=x2-2x+5,C2:y=ax2+(1-3a)x+13/8
は，ある共有点Pで共通な接線ℓをもつ．さらに，曲線C2上の点Qにおいてℓ以外の接線を，ℓと点Rで直交するように引く．このときaの値は\frac{[ソ]}{[タ]}であり，共通接線ℓの方程式は[チ]x-[ツ]y+[テ]=0である．また，曲線C2は△PQRの面積を1:[ト]に分ける．ただし，[タ]から[ト]はでき・・・
私立 早稲田大学 2011年 第5問四面体OABCにおいてOA=BC=2，OB=3，OC=AB=4，AC=2√6である．
また，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとする．以下の問に答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ．
(2)△OABを含む平面をHとする．H上の点Pで直線PCとHが直交するものをとる．このとき，ベクトルOP=xベクトルa+yベクトルbとなるx,y・・・
私立 金沢工業大学 2011年 第5問Oを原点とする平面において，OA，OBを2辺とし，OCを対角線とする平行四辺形OACBがあり，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくと，それぞれのベクトルの大きさは
|ベクトルa|=2,|ベクトルb|=3,|ベクトルc|=\sqrt{19}
である．このとき，
(1)ベクトルa・ベクトルb=[ア]であり，|ベクトルa-ベクトルb|=\sqrt{[イ]}である．
(2)ベクトルベクトルa+tベクトルbが\vecti・・・
私立 北海学園大学 2011年 第5問傾きmの直線ℓ1が放物線y=x2に点Aで接している．また，直線ℓ2は点Bでy=x2に接し，ℓ1に直交している．ただし，mは正の実数である．
(1)点Bの座標をmを用いて表せ．また，ℓ2の方程式をmを用いて表せ．
(2)ℓ1とℓ2の交点はある直線上の点である．その直線の方程式を求めよ．
(3)2点A，Bを結ぶ直線とy=x2で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第4問点Pを直線ℓ1:y=x上の点とし，2点A，Bの座標をそれぞれ(-1,0)，(0,1)とする．Pを通りℓ1に直交する直線をℓ2とする．また，ℓ2と2点A，Bを通る直線との交点をQとする．Pのx座標をaとするとき，次の問いに答えよ．ただし，0＜a＜1/2とする．
(1)ℓ2の方程式をaを用いて表せ．
(2)Qの座標をaを用いて表せ．
(3)Qからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をR・・・
私立 北海学園大学 2011年 第3問傾きmの直線ℓ1が放物線y=x2に点Aで接している．また，直線ℓ2は点Bでy=x2に接し，ℓ1に直交している．ただし，mは正の実数である．
(1)点Bの座標をmを用いて表せ．また，ℓ2の方程式をmを用いて表せ．
(2)ℓ1とℓ2の交点はある直線上の点である．その直線の方程式を求めよ．
(3)2点A，Bを結ぶ直線とy=x2で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 上智大学 2011年 第2問座標平面上に曲線C:y=-x2および，C上の2点A(a,-a2)，B(b,-b2)（ただしa＜b）を考える．AにおけるCの接線をℓ，BにおけるCの接線をmとする．2直線ℓ，mの交点をP(x,y)とする．
(1)P(x,y)の各座標をa,bで表すと，
x=\frac{[ク]}{[ケ]}a+\frac{[コ]}{[サ]}b,y=[シ]ab
である．
(2)ℓとmが直交するようにA，BがC上を動くとき，P(x,y)は常に
\kakk・・・
私立 上智大学 2011年 第2問底面の円の半径が3\;cm，高さが6\;cmの直円錐を考える．直円錐の頂点をP，底面の円の中心をQとし，線分PQを2:1に内分する点をOとする．底面の円の円周をC1，Oを通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周をC2とする．2点A，BがそれぞれC1，C2上を頂点Pから見て左回りに移動している．点Aの速さは3πcm/秒，点Bの速さはπcm/秒であり，時刻t=0において，3点P，B・・・
私立 上智大学 2011年 第2問Oを原点とする座標平面上に，放物線F:y=x2+1および，点A(5,0)を中心とする半径4の円Cがある．F上に点P(t,t2+1)，C上に点Q(a,b)をとる．
(1)Pにおける放物線Fの接線と直線APとが直交するとき，線分APの長さは[タ]\sqrt{[チ]}である．
(2)Qを固定し，Pのみが動くとする．△OPQの面積はt=\frac{[ツ]}{[テ]}b/aで最小値をとる．その最小値をaで表すと
・・・
