「直交」について

　私立 立教大学 2011年 第3問

関数y=-x2+2x+2のグラフに点A(0,a)から2本の異なる接線が引けるとき，次の問に答えよ．
(1)点Aのy座標aが満たす条件を求めよ．
(2)点Aを通る2本の接線の式と接点の座標をaを用いて表せ．
(3)2本の接線が直交するときのaの値を求めよ．
(4)点Aを通る2本の接線と放物線で囲まれる図形をy軸で2つに分割したとき，右側の図形の面積をSとする．(3)で求めたaの値に対してSの面積を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第3問

ベクトルベクトルx1=(0,1,1)，ベクトルx2=(1,0,1)，ベクトルx3=(1,1,0)について，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルb1=\frac{ベクトルx1}{|ベクトルx1|}とおくとき，|ベクトルx2-sベクトルb1|を最小にする実数sの値とそのときのベクトルベクトルy2=ベクトルx2-sベクトルb1を求めよ．
(2)ベクトルb2=\frac{ベクトルy2}{|ベクトルy2|}とおくとき，|ベクトルx3-tベクトルb1-uベクトルb2|を最小にする実数t,uの値とそ・・・

　公立 兵庫県立大学 2011年 第2問

xy平面においてy=x2で表される放物線をCとする．C上の点T(t,t2)を通る直線で，点TにおけるCの接線と直交するものを，点TにおけるCへの垂線と呼ぶことにする．以下の問に答えなさい．
(1)点T(t,t2)におけるCへの垂線の方程式を求めなさい．
(2)点A(-12,15/2)からひいたCへの垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)xy平面上の点B(p,q)からCへの垂線が3本ひけるとき，p,qが満たすべき必要十分・・・

　公立 九州歯科大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルa|=2|ベクトルb|=4をみたす2つのベクトルベクトルaとベクトルbに対してベクトルc=ベクトルa+ベクトルbとベクトルd=4ベクトルa-3ベクトルbが直交するとき，|ベクトルa-ベクトルb|の値を求めよ．
(2)定積分I=∫_{-1}2|x3-3x2+2x|dxの値を求めよ．
(3)10個の数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の中から異なる数字を選んで4けたの数を作るとき，この4けたの数が25の倍数となるのは何通りあるか．

　国立 京都大学 2010年 第2問

四面体ABCDにおいてベクトルCAとベクトルCB，ベクトルDAとベクトルDB，ベクトルABとベクトルCDはそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ．

　国立 京都大学 2010年 第1問

四面体ABCDにおいてベクトルCAとベクトルCB，ベクトルDAとベクトルDB，ベクトルABとベクトルCDはそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ．

　国立 東北大学 2010年 第2問

放物線C:y=x2に対して，以下の問いに答えよ．
(1)C上の点P(a,a2)を通り，PにおけるCの接線に直交する直線ℓの方程式を求めよ．
(2)ℓを(1)で求めた直線とする．a≠0のとき，直線x=aをℓに関して対称に折り返して得られる直線mの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線mはaの値によらず定点Fを通ることを示し，Fの座標を求めよ．

　国立 岡山大学 2010年 第4問

aを正の実数とする．放物線P:y=x2上の点A(a,a2)における接線をℓ1とし，点Aを通りℓ1と直交する直線をℓ2とする．また，ℓ2と放物線Pとの交点のうちAではない方をB(b,b2)とする．さらに，点Bを通りℓ1に平行な直線をℓ3とし，ℓ3と放物線Pとの交点のうちBではない方をC(c,c2)とする．
(1)b+c=2aであることを示せ．
(2)放物線Pとℓ3で囲まれた部分の面積をSとする．Sをaを用いて表し，Sが最小になるときのSとaの値を求めよ．
\end{e・・・

　国立 静岡大学 2010年 第3問

a＞0とする．放物線C:y=a/2x2上の点P(1,a/2)を通り，Pを通る接線に直交する直線をℓ，y軸とℓとの交点をQとするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ℓの方程式をaを用いて表せ．
(2)線分PQ，y軸および放物線Cで囲まれる図形の面積をS1とする．S1の値を最小にするaの値を求めよ．
(3)直線ℓ，y軸，直線x=-1および放物線Cで囲まれる図形の面積をS2とする．S2=2S1となるaの値を求めよ．

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

放物線C:y=\frac{x2}{2}を考える．0＜a＜√2を満たす定数aに対して，点(a3,\frac{3a2}{2}+1)をPで表す．
(1)点PとC上の点(t,\frac{t2}{2})との距離が最小となるtをaを用いて表せ．
(2)(1)で求めたtに対して，点(t,\frac{t2}{2})をQとおく．点QにおけるCの接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるようにaを定めよ．