「直交」について

　国立 福井大学 2010年 第4問

曲線C:y=ex上の点P(t,et)における接線をℓとし，ℓとx軸との交点をQとする．さらに，Qを通りℓに直交する直線とCとの交点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qのx座標をtを用いて表せ．
(2)△PQRの外心がy軸上にあるときのtの値を求めよ．
(3)tを(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRとCとで囲まれる部分をx軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 宇都宮大学 2010年 第3問

座標空間の原点をOとし，2点A(2,-1,4)，B(k,-k,2)について，線分ABを1:4に内分する点をPとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，kは定数でk＞0とする．
(1)点Pの座標をkを用いて表せ．
(2)直線ABと直線OPが直交するとき，kの値を求めよ．
(3)(2)で求めたkについて，△OABの面積を求めよ．

　国立 防衛医科大学校 2010年 第3問

座標平面上に，点P(p,q)を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれx軸，y軸に平行であり，それぞれの長さは4,2である．このとき，以下の問に答えよ．
(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる2本の接線が引けるような，点P(p,q)の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に2本の直交する接線が引けるような，点P(p,q)の存在範囲を求めて，図示せよ．

　国立 山梨大学 2010年 第2問

y=x2を平行移動してできる放物線Cは点Q(1,1)を通り，その軸の方程式はx=pで，p＜1であるとする．点Qにおける放物線Cの接線をℓ1，点Qにおいてℓ1に直交する直線をℓ2とし，ℓ1とx軸との交点をA，ℓ2とx軸との交点をBとする．また，点Qの位置ベクトルをベクトルq=(1,1)で表し，直線ℓ1,ℓ2の方向ベクトルをそれぞれベクトルa=(1,m),ベクトルb=(1,n)とする．
(1)放物線Cの方程式をpを使って表せ．
\・・・

　国立 福岡教育大学 2010年 第4問

空間上に相異なる4点O，A，B，Cがあり，線分OA，OB，OCは互いに直交している．次の問いに答えよ．
(1)4点O，A，B，Cからの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点をGとする．線分OAの中点をMとする．ベクトルOAとベクトルMGが直交することを用いて，
ベクトルOA・ベクトルOG=1/2|ベクトルOA|2
となることを示せ．ただし，ベクトルOA・ベクトルOGはベクトルOAと・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2010年 第2問

図に示す点Oを原点とする直交座標空間に点P(1,0,0)をとる．点Pを，xy平面内で原点Oを中心として図に示す矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Qをとる．さらに，点Qおよびz軸を含む平面内で，点Oを中心として点Qを矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Rをとる．ただし，角度θの範囲は0≦θ≦π/2とする．以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)点Rの座標・・・

　私立 中央大学 2010年 第3問

関数
f(x)=5/8x2+|x|(1/2+3/8x)
に対し，xy平面上のグラフC:y=f(x)を考える．aを正の実数とし，y軸上の点P(0,-a2)からCに2本の接線ℓ1，ℓ2を引く．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)Cとℓ1の接点をS(s,f(s))とする．s＜0のとき，aを用いてsを表せ．
(2)Cとℓ2の接点をT(t,f(t))とする．t＞0のとき，aを用いてtを表せ．
(3)ℓ1とℓ2が直交するようなaの値を求めよ．
\e・・・

　私立 神奈川大学 2010年 第3問

曲線C:y=exと直線ℓ:y=xについて，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底である．
(1)曲線C上の点P(t,et)を通り，直線ℓと直交する直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線と直線ℓとの交点Qの座標をtで表せ．
(3)点Pと点Qの距離をtで表せ．
(4)(3)で求めた距離の最小値を求めよ．

　公立 県立広島大学 2010年 第4問

放物線y=1/2x2について，次の問いに答えよ．
(1)点P(1,1/2)における接線ℓ1の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線ℓ1に直交する直線をℓ2とする．直線ℓ2とx軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線ℓ1に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円とx軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよびx軸で囲まれた図形の面積を求めよ．