「直交」について

　国立 東北大学 2014年 第3問

tを正の実数とする．三角形OABの辺OAを2:1に内分する点をM，辺OBをt:1に内分する点をNとする．線分ANと線分BMの交点をPとする．
(1)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルOBおよびtを用いて表せ．
(2)直線OPは線分BMと直交し，かつ∠AOBの二等分線であるとする．このとき，辺OAと辺OBの長さの比とtの値を求めよ．

　国立 筑波大学 2014年 第6問

xy平面上に楕円
C1:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{9}=1(a＞\sqrt{13})
および双曲線
C2:\frac{x2}{4}-\frac{y2}{b2}=1(b＞0)
があり，C1とC2は同一の焦点をもつとする．またC1とC2の交点
P(2\sqrt{1+\frac{t2}{b2}},t)(t＞0)
におけるC1，C2の接線をそれぞれℓ1，ℓ2とする．
(1)aとbの間に成り立つ関係式を求め，点Pの座標をaを用いて表せ．
(2)ℓ1とℓ2が直交することを示せ．
(3)aがa＞\・・・

　国立 信州大学 2014年 第4問

次の各問いに答えよ．
(1)3つのベクトルベクトルa=(2,1,1)，ベクトルb=(2,s,t)，ベクトルc=(p,q,2)が次の条件をみたすような，s,t,p,qの値を求めよ．
(i)|ベクトルa|=|ベクトルb|
(ii)ベクトルaとベクトルbのなす角は60°
(iii)ベクトルcはベクトルaとベクトルbの両方に直交する．
(2)nを0以上の整数とする．n+1個の自然数20,21,・・・,2nの中に，最上位の桁の・・・

　国立 旭川医科大学 2014年 第1問

関数f(x)=log(1+x2)について，次の問いに答えよ．
(1)∫01log(1+x2)dxを求めよ．
(2)導関数f´(x)の増減を調べ，y=f´(x)のグラフの概形をかけ．
(3)曲線C:y=f(x)と曲線Cの互いに直交している2本の接線とで囲まれる図形の面積Sを求めよ．

　国立 佐賀大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&c
\end{array})に対して，ベクトルベクトルu=(p,q)，ベクトルv=(r,s)は
|ベクトルu|=|ベクトルv|=1,A(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})=α(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array}),A(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})=β(\begin{array}{c}
r\
s
\end{array})
を満たすとする．ただし，α,βは相異なる実数である．このとき，次の問に答えよ．
\begi・・・

　国立 鹿児島大学 2014年 第4問

0＜a＜π/4とする．曲線y=sin2x上の点(a,sin2a)における接線ℓ1と点(π/2-a,sin2(π/2-a))における接線ℓ2が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)ℓ1とℓ2および曲線y=sin2x(0≦x≦π/2)とで囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 浜松医科大学 2014年 第1問

pを正の実数として，放物線C:y2=4pxを定める．Cの頂点をO，焦点をF，準線をℓ:x=-pとする．C上の2点A(a,2\sqrt{pa})(a＞0)とB(b,-2\sqrt{pb})(b＞0)を考えるとき，以下の問いに答えよ．
(1)AにおけるCの接線をℓ(A)とし，ℓ(A)と準線ℓとの交点をPとする．ℓ(A)の方程式をかいて，Pの座標を求めよ．また，線分APの長さは線分AFの長さより大きいことを示せ．
(2)接線ℓ(\・・・

　国立 茨城大学 2014年 第4問

円に内接し対角線が直交する四角形ABCDについて，対角線の交点をEとし，その交点Eから辺ADに垂線EHを引く．また，線分HEの延長と辺BCの交点をMとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)∠ADE=∠CEMであることを示せ．
(2)BM=EM=CMであることを示せ．

　国立 茨城大学 2014年 第1問

区間0＜x＜πで関数y=f(x)=cos(√2x)を考え，そのグラフをCとする．C上の点P(θ,cos(√2θ))におけるCの法線をℓ，ℓとx軸との交点をQ，点Pと点Qの距離をg(θ)とする．ただし，点PにおけるCの法線とは，点Pを通りかつPでのCの接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．
(1)f(x)の増減の様子を調べ，Cの概形をかけ．さらに，f(x)の最小値を与えるxの値，およびCとx軸との交点のx・・・

　国立 鳥取大学 2014年 第4問

a,bを正の実数とする．xy平面内の楕円C:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1上の点PにおけるCの接線をℓとする．Pを媒介変数表示によりP(acost,bsint)(0≦t＜2π)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ℓの方程式を求めよ．
(2)tが0＜t＜π/2の範囲にあるとき，直線ℓに直交し，楕円C上の点Q(acosθ,bsinθ)(0＜θ＜π)でCに接する直線をmとする．接点Qの座・・・