「直交」について

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[サ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)(log3x)(log39x)-6log9x-6=0を満たすxの値をすべて求めると，[ア]である．
(2)座標平面上に点A(1,1)，B(3,7)，C(-1,5)がある．このとき，点Cを通り直線ABと直交する直線の方程式はy=[イ]である．
(3)実数xが方程式(1+i)x2-(5+i)x+6-2i=0を満たすとき，x=[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．
(4)0＜θ＜π/2・・・

　公立 大阪府立大学 2014年 第2問

OA=OB=1をみたす二等辺三角形OABにおいて，辺ABを1:3に内分する点をP，辺OBの中点をQ，直線OPと直線AQの交点をR，直線BRと辺OAの交点をSとし，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOBとおく．このとき，直線BSは辺OAと直交しているとする．
(1)ベクトルベクトルORをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルベクトルBSをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
\m・・・

　公立 札幌医科大学 2014年 第3問

aを0＜a＜1とする．座標空間の4点をO(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1/a,0)，C(0,0,\frac{1}{1-a})とする．また，4点O，A，B，Cを頂点とする四面体に内接する球をSとする．
(1)3点A，B，Cを通る平面に直交し長さが1のベクトルをaを用いて表せ．
(2)3点A，B，Cを通る平面と球Sの接点の座標をaを用いて・・・

　国立 東北大学 2013年 第6問

半径1の円を底面とする高さ\frac{1}{√2}の直円柱がある．底面の円の中心をOとし，直径を1つ取りABとおく．ABを含み底面と45°の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分をVとする．
(1)直径ABと直交し，Oとの距離がt(0≦t≦1)であるような平面でVを切ったときの断面積S(t)を求めよ．
(2)Vの体積を求めよ．

　国立 金沢大学 2013年 第3問

a＞0とする．x≧0における関数f(x)=e^{\sqrt{ax}}と曲線C:y=f(x)について，次の問いに答えよ．
(1)C上の点P(1/a,f(1/a))における接線ℓの方程式を求めよ．また，Pを通りℓに直交する直線mの方程式を求めよ．
(2)定積分∫0^{1/a}f(x)dxをt=\sqrt{ax}とおくことにより求めよ．
(3)曲線C，直線y=1および直線mで囲まれた図形の面積S(a)を求めよ．また，a＞0におけるS(a)・・・

　国立 千葉大学 2013年 第5問

a,bを実数とし，a＞0とする．放物線y=\frac{x2}{4}上に2点A(a,\frac{a2}{4})，B(b,\frac{b2}{4})をとる．点Aにおける放物線の接線と法線をそれぞれℓAとnA，点Bにおける放物線の接線と法線をそれぞれℓBとnBとおいたとき，ℓAとℓBが直交しているものとする．2つの接線ℓA,ℓBの交点をPとし，2つの法線nA,\・・・

　国立 岩手大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，e^{2x}＞\frac{x2}{2}となることを示せ．
(2)A=(\begin{array}{cc}
0&p\
1&0
\end{array})（pは実数）について，A4=EかつA2≠Eのとき，pの値を求めよ．ただし，Eは単位行列とする．
(3)関数f(x)=axr+b(x＞0)において，f(2)=27，f(4)=87，f(8)=387を満たすとき，a,bの値を求めよ．
(4)Oを原点とする座標平面上に2点A(2,2√3)，B(1,0)をとる．点Aを通り，直・・・

　国立 岩手大学 2013年 第6問

2つの円x2+y2=1と(x-a)2+y2=\frac{a2}{4}(a＞0)が相異なる2点で交わるとき，次の問いに答えよ．
(1)aの値の範囲を求めよ．
(2)第1象限の交点における2つの円の接線が直交するとき，aの値を求めよ．

　国立 茨城大学 2013年 第2問

f(x)=x3-x+5として，曲線y=f(x)をCとする．点P(a,f(a))におけるCの接線をℓ，法線をnとする．以下の各問に答えよ．ただし，点PにおけるCの法線とは，点Pを通り，かつ点PにおけるCの接線に直交する直線のことである．
(1)ℓ,nの方程式をそれぞれ求めよ．
(2)ℓとCの共有点で，P以外のものの個数を求めよ．
(3)|a|＜\frac{1}{√3}のときには，nとCとの共有点がP以外にも存在することを示せ．

　国立 宇都宮大学 2013年 第6問

座標平面上で原点Oを中心とする半径1の円の第1象限の部分をCとする．曲線y=f(x)(0＜x＜1)は第4象限にあり，かつすべてのx1(0＜x1＜1)について，点(x1,f(x1))における接線がC上の点(x1,y1)におけるCの接線と直交しているとする．曲線y=f(x)上の動点をPとするとき，次の問いに答えよ．
(1)f´(x)を求めよ．
(2)点Pにおけるy=f(x)の接線とy軸との交点をQとするとき，線分PQの長さは常に1であることを示せ．
(3)x軸上とy軸上・・・