「直交」について

　私立 東京女子大学 2013年 第5問

座標空間における点A(2,-1,2)，B(-1,1,-1)に対し，以下の設問に答えよ．ただしOは原点を表す．
(1)cos∠AOBを求めよ．
(2)x≧0の範囲にある点C(x,y,z)で，ベクトルOCがベクトルOA，ベクトルOBの両方と直交し，かつ|ベクトルCA|=5となるものを求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

放物線C:y2=4px(p＞0)の焦点F(p,0)を通る2直線ℓ1，ℓ2は互いに直交し，Cとℓ1は2点P1，P2で，Cとℓ2は2点Q1，Q2で交わるとする．次の問に答えよ．
(1)ℓ1の方程式をx=ay+pと置き，P1，P2の座標をそれぞれ(x1,y1)，(x2,y2)とする．y1+y2，y1y2をaとpで表せ．
(2)\frac{1}{P1P2}+\frac{1}{Q1Q2}はℓ1，ℓ2のとり方によら・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第2問

中心A(1,1)，半径1の円をCとする．原点を通り円Cと異なる2点P，Qで交わる直線をℓとする．P，Qにおける円Cの2本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．
(1)△APQの面積Sを求めよ．
(2)直線ℓの傾きを求めよ．
(3)2本の接線の交点Rの座標を求めよ．

　公立 大阪市立大学 2013年 第1問

放物線C1:y=2x2と放物線C2:y=(x-a)2+bを考える．ただし，a,bは定数で，a＞0とする．放物線C1とC2がともにある点Pを通り，点Pにおいて共通の接線ℓをもつとする．また，点Pでℓと直交する直線をmとし，mと放物線C1，C2とのP以外の交点を，それぞれQ，Rとする．次の問いに答えよ．
(1)bをaを用いて表せ．
(2)直線mの方程式，および，点Q，点Rのx座標をaを用いて表せ．
(3)a=1/4・・・

　公立 滋賀県立大学 2013年 第3問

四面体の4つの頂点をA1，A2，A3，A4とし，空間のある点Pに関するそれぞれの位置ベクトルをベクトルa1，ベクトルa2，ベクトルa3，ベクトルa4とする．いま△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3を順にT1，T2，T3，T4で表しその重心をそれぞれG1，G2，G3，G4と・・・

　公立 福岡女子大学 2013年 第4問

a≠cとする．座標平面上で，焦点F(0,c)と準線y=aとから等距離にある点(x,y)の軌跡は放物線であり，その式をx2=4p(y-q)とおくとき，q=\frac{a+c}{2}となる．以下の問に答えなさい．
(1)この放物線と直線y=cの交点は，焦点Fと準線y=aとから等距離にあることに着目して，pをaとcの式で表しなさい．
(2)a＞c＞bとする．焦点F，準線y=aの放物線をLで表し，焦点F，準線y=bの放物線をL´で表す．LとL´の交点Tのy・・・

　公立 京都府立大学 2013年 第4問

x≧0とする．関数f(x)=-x3+xと関数g(x)=x3-x2がある．xy平面上に曲線C1:y=f(x)および曲線C2:y=g(x)を定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)曲線C1上の点(1,0)における曲線C1の接線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた曲線C1の接線と曲線C2の接線が直交するとき，曲線C2の接線の方程式を求めよ．
(3)0≦x≦1において，f(x)≧g(x)が成り立つことを示せ．
(4)原点を通り，曲線C1と曲線C2とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ・・・

　国立 一橋大学 2012年 第3問

定数a,b,c,dに対して，平面上の点(p,q)を点(ap+bq,cp+dq)に移す操作を考える．ただし，(a,b,c,d)≠(1,0,0,1)である．kを0でない定数とする．放物線C:y=x2-x+k上のすべての点は，この操作によってC上に移る．
(1)a,b,c,dを求めよ．
(2)C上の点AにおけるCの接線と，点Aをこの操作によって移した点A´におけるCの接線は，原点で直交する．このときのkの値および点Aの座標をすべて求めよ．

　国立 東北大学 2012年 第1問

aを正の実数とし，a≠1/2とする．曲線C:y=x2上の2点P(1/2,1/4)とQ(a,a2)をとる．点Pを通りPにおけるCの接線と直交する直線をℓとし，点Qを通りQにおけるCの接線と直交する直線をmとする．ℓとmの交点がC上にあるとき，以下の問いに答えよ．
(1)aの値を求めよ．
(2)2直線ℓ,mと曲線Cで囲まれた図形のうちでy軸の右側の部分の面積を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2012年 第1問

xy平面上にn個の点Pk(xk,yk)(k=1,2,3,・・・,n)がある．
a=Σ_{k=1}nxk2,b=Σ_{k=1}nyk2,c=Σ_{k=1}nxkyk
とおく．さらに，Pkと直線ℓ:xcosθ+ysinθ=0の距離をdkとし，
L=Σ_{k=1}ndk2
とおく．次の問いに答えよ．
(1)Lをa,b,c,θを用いて表せ．
(2)θが0≦θ＜πの範囲を動くとき，Lの最大値と最小値をa,b,cを用いて表せ．
(3)a≠bまたはc≠0のとき・・・