「直交」について

　国立 筑波大学 2012年 第4問

四面体OABCにおいて，次が満たされているとする．
ベクトルOA・ベクトルOB=ベクトルOB・ベクトルOC=ベクトルOC・ベクトルOA
点A，B，Cを通る平面をαとする．点Oを通り平面αと直交する直線と，平面αとの交点をHとする．
(1)ベクトルOAとベクトルBCは垂直であることを示せ．
(2)点Hは△ABCの垂心であること，すなわちベクトルAH⊥ベクトルBC,ベクトルBH⊥ベクトルCA,ベクトルCH⊥ベクトルAB・・・

　国立 弘前大学 2012年 第6問

xy平面上の楕円4x2+9y2=36をCとする．
(1)直線y=ax+bが楕円Cに接するための条件をaとbの式で表せ．
(2)楕円Cの外部の点PからCに引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ．

　国立 岩手大学 2012年 第4問

∠　BAC　=90°である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCをs:(1-s)に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，0＜s＜1とする．ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルAC=ベクトルbとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルARをs,ベクトルaおよびベクトルbで表せ．
(2)|ベクトルa|=1,|ベクトルb|=√2とする．線分APとCMが直交するときのsの値を求めよ．また，このときのベクトルARの大きさを求めよ．

　国立 岩手大学 2012年 第4問

∠　BAC　=90°である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCをs:(1-s)に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，0＜s＜1とする．ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルAC=ベクトルbとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルARをs,ベクトルaおよびベクトルbで表せ．
(2)|ベクトルa|=1,|ベクトルb|=√2とする．線分APとCMが直交するときのsの値を求めよ．また，このときのベクトルARの大きさを求めよ．

　国立 鹿児島大学 2012年 第6問

極方程式r=\frac{a}{2+cosθ}で与えられる2次曲線がある．ただし，aは正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．
(1)この2次曲線を直交座標(x,y)に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線をx軸方向にa/3だけ平行移動した2次曲線をCで表す．Cを直交座標x,yの方程式で表せ．また，この2次曲線Cはx軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bのx座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線C上のx軸上にない点P(α,・・・

　国立 三重大学 2012年 第2問

∠AOBが直角，　OA　:　OB　=2:1である三角形OABがある．sは0＜s＜1とし，辺ABをs:(1-s)に内分する点をPとし，OPをs:(1-s)に内分する点をQとする．また，線分AQの延長とOBの交点をRとする．ベクトルOPとベクトルBQが直交するとき，以下の問いに答えよ．
(1)sの値を求めよ．
(2)ベクトルAR=tベクトルAQとおくとき，tの値を求めよ．
(3)三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線Cを考える．円板の中心の最初の位置を(0,2)，点Pの最初の位置を(0,1)とする．
(1)円板がその中心のまわりに回転した角をθとするとき，Pの座標は
(2θ-sinθ,2-cosθ)
で与えられることを示せ．
(2)点P(2θ-sinθ,2-cosθ)(0＜θ＜2π)における曲線Cの法線とx軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

四面体OABCにおいて，ベクトルAC,ベクトルOBはいずれもベクトルOAに直交し，ベクトルACとベクトルOBのなす角は60度であり，
AC=OB=2,OA=3
である．このとき，三角形ABCの面積は[オ]\sqrt{[カ]}であり，四面体OABCの体積は\sqrt{[キ]}である．ただし，[カ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

半径1の球が平面の上に接している．平面との接点をOとし，Oを球の南極点とみなしたときの球の北極点をNとする．平面上に点AをOA=3となるようにとる．また点BをOB=4であり，直線OAと直線OBが直交するようにとる．\\
点Nと平面上の点Pを結ぶ直線が球面と交わる2点の内，Nと異なる点をP^{\prime}とする．このときNとA^{\prime}，B^{\prime}の距離はそれぞれ
NA^{\prime}=\frac{\kakkotwo{・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

曲線上の点Pを通り，Pにおけるこの曲線の接線ℓと直交する直線mをこの曲線の法線とよぶ．a,b＞0とし，2次曲線x2=4a(y+b)の法線が(0,2a)を通るとき，接点P(p,q)は
p2=[(41)]ab,q=[(42)]
をみたす．したがって条件をみたす接線と法線の組(ℓ,m)は2組ある．この4本の直線で囲まれる4角形Sの面積は[(43)][(44)](a+b)\sqrt{ab}である．また2本の法線と2次曲線で囲まれる部分でSに含まれる部分の面積は
(\frac{\kakkotwo{(45)}{・・・