「直角三角形」について

　国立 岐阜大学 2013年 第1問

a,bを正の実数とする．xy平面上の放物線y=x2-2axと直線y=bxは原点Oと点Aの異なる2点で交わる．また，放物線の頂点をBとし，三角形OABを考える．以下の問に答えよ．
(1)点Aおよび点Bの座標を求めよ．
(2)三角形OABが直角三角形のとき，aとbの満たすべき条件を求めよ．
(3)a=bのとき，cos∠AOBをaを用いて表せ．
(4)a=bのとき，三角形OABの面積をaを用いて表せ．

　私立 龍谷大学 2013年 第3問

∠B=90°の直角三角形ABCにおいて，AC=1，∠A=θとする．点Bから辺ACに下ろした垂線と辺ACの交点をHとする．さらに，点Hから辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点をKとする．
(1)HKをθをもちいて表しなさい．
(2)θが変化するとき，HKの最大値を求めなさい．

　私立 松山大学 2013年 第1問

正12角形の異なる3つの頂点を結んで三角形を作る．
(1)三角形は全部で[アイウ]個できる．
(2)正三角形となる確率は\frac{[エ]}{[オカ]}である．
(3)直角三角形となる確率は\frac{[キ]}{[クケ]}である．
(4)二等辺三角形となる確率は\frac{[コサ]}{[シス]}である．

　私立 広島工業大学 2013年 第6問

正八角形の8つの頂点から3つを選んで三角形を作る．次の問いに答えよ．
(1)三角形の総数を求めよ．
(2)直角三角形の総数を求めよ．
(3)鋭角三角形の総数を求めよ．

　公立 愛知県立大学 2013年 第2問

座標平面上で，原点Oを始点とし第1象限の点Aを通る半直線OAとx軸の正の向きとのなす角をθ(0＜θ＜π/2)とする．点Bはx軸上にあり，|ベクトルOB|=b，|ベクトルOA|=aとする．原点Oから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をPとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルAP=tベクトルABとおく．ベクトルOP=tベクトルOB+(1-t)ベクトルOAであることを示し，tをa,b,θで表・・・

　公立 鳥取環境大学 2013年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)次の(i)～(iii)の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i)xが整数ならばx2≧0である．
(ii)nが2以上の整数であるとき2n-1はすべて素数である．
(iii)数学は美しい．
(2)次の(i)～\tokeigoの[]の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない・・・

　国立 岩手大学 2012年 第4問

∠　BAC　=90°である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCをs:(1-s)に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，0＜s＜1とする．ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルAC=ベクトルbとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルARをs,ベクトルaおよびベクトルbで表せ．
(2)|ベクトルa|=1,|ベクトルb|=√2とする．線分APとCMが直交するときのsの値を求めよ．また，このときのベクトルARの大きさを求めよ．

　国立 岩手大学 2012年 第4問

∠　BAC　=90°である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCをs:(1-s)に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，0＜s＜1とする．ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルAC=ベクトルbとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルベクトルARをs,ベクトルaおよびベクトルbで表せ．
(2)|ベクトルa|=1,|ベクトルb|=√2とする．線分APとCMが直交するときのsの値を求めよ．また，このときのベクトルARの大きさを求めよ．

　国立 奈良教育大学 2012年 第2問

三角形ABCにおいて，次の関係が成り立つとき，三角形ABCは直角三角形，または，二等辺三角形であることを示せ．
acosA=bcosB
ただし，a,bはそれぞれ三角形ABCの辺BC，ACの長さを表し，A,Bはそれぞれ三角形ABCの∠BAC,∠ABCを表す．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)3つの行列の積
(
xy
)(\begin{array}{cc}
2&a\\
a&1
\end{array}
)
(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
)
の成分が任意の実数x,yに対し0以上となるような実数aの範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)∠Bが直角の直角三角形ABCの2辺AB,BCの長さをそれぞれ3,1とする．また，0＜x＜1を満たすxに対し線分BCを1:xに外分する点をDとする．いま，∠　CAD　=2∠　BAC　が成り立っているとす・・・