「硬貨」について

　国立 九州大学 2015年 第4問

袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている．次の操作を繰り返し行う．
（操作）袋から1個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉1個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉1個を袋に入れる．袋に入っている3個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を1枚もらう．
(1)2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．
(2)奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．
(3)8回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．
(4)8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚・・・

　国立 九州大学 2015年 第3問

袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている．次の操作を考える．
（操作）袋から1個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉1個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉1個を袋に入れる．袋に入っている3個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を1枚もらう．
この操作を4回繰り返す．もらう硬貨の総数が1枚である確率と，もらう硬貨の総数が2枚である確率をそれぞれ求めよ．

　国立 佐賀大学 2015年 第3問

正方形の4個の頂点を，時計回りに順にA，B，C，Dとする．頂点Aから出発して頂点上を時計回りに点Pを進めるゲームを行う．硬貨を1回投げるごとに，表が出たときには頂点1つ分だけ点Pを進め，裏が出たときには頂点2つ分だけ点Pを進めるものとする．ただし，点Pが頂点Dにとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨をn回投げ終えた時点で点Pが頂点Aに到達する確率をpnとするとき，次の問に答えよ．
\・・・

　国立 佐賀大学 2015年 第4問

正方形の4個の頂点を，時計回りに順にA，B，C，Dとする．頂点Aから出発して頂点上を時計回りに点Pを進めるゲームを行う．硬貨を1回投げるごとに，表が出たときには頂点1つ分だけ点Pを進め，裏が出たときには頂点2つ分だけ点Pを進めるものとする．ただし，点Pが頂点Dにとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨をn回投げ終えた時点で点Pが頂点Aに到達する確率をpnとするとき，次の問に答えよ．
\・・・

　国立 佐賀大学 2015年 第4問

正方形の4個の頂点を，時計回りに順にA，B，C，Dとする．頂点Aから出発して頂点上を時計回りに点Pを進めるゲームを行う．硬貨を1回投げるごとに，表が出たときには頂点1つ分だけ点Pを進め，裏が出たときには頂点2つ分だけ点Pを進めるものとする．ただし，点Pが頂点Dにとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨をn回投げ終えた時点で点Pが頂点Aに到達する確率をpnとするとき，次の問に答えよ．
\・・・

　公立 大阪市立大学 2015年 第4問

1枚の硬貨を何回も投げ，表が2回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうどn回投げた時点で終了する確率をPnとするとき，次の問いに答えよ．
(1)P2を求めよ．
(2)P3を求めよ．
(3)P4を求めよ．
(4)P5＜1/2であることを示せ．

　公立 大阪市立大学 2015年 第3問

1枚の硬貨を何回も投げ，表が2回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうどn回で終了する確率をPnとするとき，次の問いに答えよ．
(1)P2,P3,P4を求めよ．
(2)P_{n+1}をPnおよびP_{n-1}を用いて表せ．ただし，n≧3とする．
(3)n≧2のとき，\frac{Pn}{2}≦P_{n+1}≦Pnが成り立つことを示せ．

　国立 九州大学 2014年 第4問

Aさんは5円硬貨を3枚，Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚持っている．2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)AさんがBさんに勝つ確率p，および引き分けとなる確率qをそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に・・・

　国立 九州大学 2014年 第4問

Aさんは5円硬貨を3枚，Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚持っている．2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやりとりは行わない．このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(1)AさんがBさんに勝つ確率p，および引き分けとなる確率qをそれぞれ求めよ．
(2)ゲーム終了後に・・・

　国立 一橋大学 2014年 第5問

数直線上の点Pを次の規則で移動させる．一枚の硬貨を投げて，表が出ればPを+1だけ移動させ，裏が出ればPを原点に関して対称な点に移動させる．Pは初め原点にあるとし，硬貨をn回投げた後のPの座標をanとする．
(1)a3=0となる確率を求めよ．
(2)a4=1となる確率を求めよ．
(3)n≧3のとき，an=n-3となる確率をnを用いて表せ．