「確率」について

　国立 名古屋大学 2014年 第2問

大小合わせて2個のサイコロがある．サイコロを投げると，1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする．
(1)2個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
(2)2個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なるときはそこで終了する．出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．終了時に出ている目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．

　国立 神戸大学 2014年 第4問

nを自然数とする．1から2nまでの番号をつけた2n枚のカードを袋に入れ，よくかき混ぜてn枚を取り出し，取り出したn枚のカードの数字の合計をA，残されたn枚のカードの数字の合計をBとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)nが奇数のとき，AとBが等しくないことを示せ．
(2)nが偶数のとき，AとBの差は偶数であることを示せ．
(3)n=4のとき，AとBが等しい確率を求めよ．

　国立 広島大学 2014年 第5問

正六角形の頂点を反時計回りにP1，P2，P3，P4，P5，P6とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を順にj,kとする．次の問いに答えよ．
(1)P1，Pj，Pkが異なる3点となる確率を求めよ．
(2)P1，Pj，Pkが正三角形の3頂点となる確率を求めよ．
(3)P1，Pj，Pkが直角三角形の3頂点となる確率を求めよ．

　国立 大阪大学 2014年 第5問

さいころを繰り返し投げ，n回目に出た目をXnとする．n回目までに出た目の積X1X2・・・XnをTnで表す．Tnを5で割った余りが1である確率をpnとし，余りが2,3,4のいずれかである確率をqnとする．
(1)pn+qnを求めよ．
(2)p_{n+1}をpnとnを用いて表せ．
(3)rn=(6/5)npnとおいてrnを求めることにより，pnをnの式で表せ．

　国立 東京工業大学 2014年 第3問

1個のさいころを投げて，出た目が1か2であれば行列A=(\begin{array}{cc}
0&1\
-1&0
\end{array})を，出た目が3か4であれば行列B=(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})を，出た目が5か6であれば行列C=(\begin{array}{cc}
-1&0\
0&1
\end{array})を選ぶ．そして，選んだ行列の表す1次変換によってxy平面上の点Rを移すという操作を行う．点Rは最初は点(0,1)にあるものとし，さいころを投げて点Rを移す操作をn回続・・・

　国立 東北大学 2014年 第2問

1,2,3,4,5のそれぞれの数字が書かれた玉が2個ずつ，合計10個ある．
(1)10個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて2個の玉を取り出す．書かれている2つの数字の積が10となる確率を求めよ．
(2)10個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて4個の玉を取り出す．書かれている4つの数字の積が100となる確率を求めよ．
(3)10個の玉を袋に入れ，よくかき混ぜて6個の玉を取り出す．1個目から3個目の玉に書かれている3つの数字の積と，4個目から6個目の玉に書かれている3つの数字の積が等しい確・・・

　国立 広島大学 2014年 第5問

1辺の長さが1の正六角形において，頂点を反時計回りにP1，P2，P3，P4，P5，P6とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を順にj,kとする．P1，Pj，Pkが異なる3点となるとき，この3点を頂点とする三角形の面積をSとする．P1，Pj，Pkが異なる3点とならないときは，S=0と定める．次の問いに答えよ．
(1)S＞0となる確率を求めよ．
(2)Sが最大となる確率を求めよ．
(3)Sの期待値・・・

　国立 千葉大学 2014年 第4問

A，Bふたりは，それぞれ1から4までの番号のついた4枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めにA,Bはそれぞれ4枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
A,Bはそれぞれ自分の袋から無作為に1枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して1回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
\mon[・・・

　国立 千葉大学 2014年 第1問

袋の中に，赤玉が3個，白玉が7個が入っている．袋から玉を無作為に1つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行をN回繰り返したときに，赤玉をA回（ただし0≦A≦N）取り出す確率をp(N,A)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率p(N,A)をNとAを用いて表せ．
(2)Nが10の倍数，すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする．確率p(10n,0)，p(10n,1)，・・・，p(10n,10n)のうち，一番大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順に・・・

　国立 岡山大学 2014年 第4問

AとBが続けて試合を行い，先に3勝した方が優勝するというゲームを考える．1試合ごとにAが勝つ確率をp，Bが勝つ確率をq，引き分ける確率を1-p-qとする．
(1)3試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(2)5試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)p=q=1/3としたとき，5試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ．
(4)p=q=1/2としたとき，優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ．