「確率」について

　国立 三重大学 2014年 第3問

X大学では，オープンキャンパスに40名の高校生が参加を申し込んだ．この40名の高校生のために，黒色20本，青色10本，赤色10本，計40本のボールペンを参加の記念として用意した．この40名の中の特定の2名A，Bについて，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの40名の高校生が参加するとする．また，高校生1名に必ず1本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)A，Bともに黒色のボールペンを渡される確率を求め・・・

　国立 岐阜大学 2014年 第2問

サイコロを3回振り，出た目を順にa,b,cとする．関数f(x)を
f(x)=3ax2-2bx+3c
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式f(x)=0がx=1を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつような(a,b,c)の組について考える．このとき，x軸と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積Sをa,b,cを用いて表せ．また，Sの最大値を求めよ．

　国立 岐阜大学 2014年 第2問

サイコロを3回振り，出た目を順にa,b,cとする．関数f(x)を
f(x)=3ax2-2bx+3c
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式f(x)=0がx=1を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもつような(a,b,c)の組について考える．このとき，x軸と曲線y=f(x)で囲まれる図形の面積Sをa,b,cを用いて表せ．また，Sの最大値を求めよ．

　国立 大分大学 2014年 第3問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．

　国立 大分大学 2014年 第2問

正三角形ABCがあり，点Xは正三角形ABCの頂点を移動する点である．サイコロを投げて5の目が出たとき点Xは時計回りに隣の頂点に移動し，6の目が出たとき点Xは反時計回りに隣の頂点に移動し，それ以外の目が出たとき点Xは移動しない．はじめに点Xは頂点Aにあるとし，サイコロをn回投げたとき点Xが頂点Aにある確率をPnとする．
(1)P1,P2,P3を求めなさい．
(2)P_{n+1}をPnを用いて表しなさい．
(3)Pnを求めなさ・・・

　国立 大分大学 2014年 第4問

100から999までの自然数の集合を全体集合Uとし，そのうち14で割ると3余るものの集合をA，9の倍数の集合をBとおく．
(1)A,Bの要素の個数を求めなさい．
(2)A∩Bの要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)Uの要素が1つずつ書かれた玉の入った袋から玉を2個取り出す．このとき，2個の玉に書かれている数がいずれも14で割ると3余り，かつ9で割り切れない場合の確率を求めなさい．

　国立 大分大学 2014年 第1問

次の各問いに答えなさい．
(1)n本中k本の当たりが入ったクジをn人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，i番目にクジを引く人の当たる確率がk/nであることを示しなさい．ただし，0＜k＜nとする．
(2)関数y1=sinxとy2=2sin(a-x)について，y=y1+y2の最大値が√7になるとき，定数aの値を求めなさい．
(3)放物線y=ax2と直線y=bxで囲まれる部分の面積を2等分する直線x=pを求めなさい．ただし，a,b＞0とする．

　国立 山形大学 2014年 第1問

数直線上に点Pがあり，最初は原点に位置している．点Pを次の試行にしたがって数直線上を動かす．
(i)赤い玉が2個，白い玉が1個入った袋から玉を1個取り出す．
(ii)取り出した玉の色が赤ならば，点Pを正の向きに1だけ動かす．
(iii)取り出した玉の色が白ならば，点Pを負の向きに1だけ動かす．
\tokeishi取り出した玉は袋に戻す．
このとき，次の問に答えよ．
(1)この・・・

　国立 山形大学 2014年 第2問

1から10までの番号がひとつずつ書かれた10個の白い球と1から10までの番号がひとつずつ書かれた10個の赤い球が入った箱がある．この箱から1個ずつ順に球を4個取り出す．ただし，一度取り出した球は箱に戻さない．次の問に答えよ．
(1)3番目の球を取り出したときに，初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求めよ．
(2)4番目の球を取り出したときに，初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求めよ．
(3)1番目に取り出した球の番号より3番目に取り出した球の番号が小さい確率を求め・・・

　国立 九州工業大学 2014年 第4問

点Pは次の①，②，③の規則に従って数直線上を動く．
\mon[①]時刻0で，Pは整数座標点0から10のいずれかの位置i(0≦i≦10)にある．
\mon[②]時刻t(t=0,1,2,・・・)に位置i(1≦i≦9)にあるPは，t+1には確率p(0＜p＜1/2)で位置i+1に，確率1-pで位置i-1に移動する．
\mon[③]時刻tに位置0または10にあるPは，t+1にもその位・・・