「確率」について

　国立 名古屋大学 2013年 第1問

3人でジャンケンをする．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ1/3の確率で出すものとする．負けた人は脱落し，残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない），勝ち残りが1人になるまでジャンケンを続ける．このとき各回の試行は独立とする．3人でジャンケンを始め，ジャンケンがn回目まで続いてn回目終了時に2人が残っている確率をpn，3人が残っている確率をqnとおく．
(1)p1,q1を求めよ．
(2)pn,qnがみたす漸化式を導き，pn,qnの一・・・

　国立 大阪大学 2013年 第5問

nを3以上の整数とする．n個の球K1,K2,・・・,Knとn個の空の箱H1,H2,・・・,Hnがある．以下のように，K1,K2,・・・,Knの順番に，球を箱に1つずつ入れていく．\\
まず，球K1を箱H1,H2,・・・,Hnのどれか1つに無作為に入れる．次に，球K2を，箱H2が空ならば箱H2に入れ，箱H2が空でなければ残りのn-1個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．\\
一般に，i=2,3,・・・,nについて，球Kiを，箱Hiが空ならば箱Hiに入れ，箱Hiが空でなければ残りのn-i+1個の・・・

　国立 大阪大学 2013年 第2問

1個のさいころを3回投げる試行において，1回目に出る目をa，2回目に出る目をb，3回目に出る目をcとする．
(1)log_{1/4}(a+b)＞log_{1/2}cとなる確率を求めよ．
(2)2a+2b+2cが3の倍数となる確率を求めよ．

　国立 岡山大学 2013年 第3問

1個のさいころをn回投げ，出た目の最大値をXnとおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Xnがk以下である確率pkを求めよ．ただし，k=1,2,3,4,5,6とする．
(2)Xnがkである確率qkを求めよ．ただし，k=1,2,3,4,5,6とする．
(3)Xnの期待値をn=2の場合に求めよ．
(4)Xnの期待値が4.5以上となるnの範囲を求めよ．

　国立 広島大学 2013年 第2問

座標平面上の点で，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．nを3以上の自然数とし，連立不等式
x≧0,y≧0,x+y≦n
の表す領域をDとする．格子点A(a,b)に対して，領域D内の格子点B(c,d)が|a-c|+|b-d|=1を満たすとき，点Bを点Aの隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域D内の格子点のうち隣接点の個数が4であるものの個数を求めよ．
(2)領域Dから格子点を1つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が3以上とな・・・

　国立 金沢大学 2013年 第2問

座標平面上の点Pは，硬貨を1回投げて表が出ればx軸の正の方向に2，裏が出ればy軸の正の方向に1だけ進むことにする．最初，Pは原点にある．硬貨を5回投げた後のPの到達点について，次の問いに答えよ．
(1)Pの到達点が(10,0)となる確率を求めよ．また，(6,2)となる確率を求めよ．
(2)2点(10,0)，(6,2)を通る直線ℓの方程式を求めよ．また，Pの到達点はすべて直線ℓ上にあることを示せ．
(3)(2)で求めた直線ℓと原点との距離を求め・・・

　国立 信州大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不等式log3(x-2)+2log9(x-4)＜1を解け．
(2)Oを原点とする座標空間の座標軸上に，3点A(1,0,0)，B(0,√6,0)，C(0,0,1)がある．線分OA，OC，BC，BAをt:1-tに内分する点を，それぞれP，Q，R，Sとする．この4点により定まる長方形PQRSの面積M(t)が最大となるとき，ベクトルベクトルPR，ベクトルQSのなす角θ(0＜θ＜π)を求めよ．
(3)3個・・・

　国立 神戸大学 2013年 第5問

動点Pが，図のような正方形ABCDの頂点Aから出発し，さいころをふるごとに，次の規則により正方形のある頂点から他の頂点に移動する．
出た目の数が2以下なら辺ABと平行な方向に移動する．
出た目の数が3以上なら辺ADと平行な方向に移動する．
nを自然数とするとき，さいころを2n回ふった後に動点PがAにいる確率をan，Cにいる確率をcnとする．次の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
\mo・・・

　国立 神戸大学 2013年 第3問

赤色，緑色，青色のさいころが各2個ずつ，計6個ある．これらを同時にふるとき，
(1)赤色の2個のさいころの出た目の数r1,r2に対しR=|r1-r2|
(2)緑色の2個のさいころの出た目の数g1,g2に対しG=|g1-g2|
(3)青色の2個のさいころの出た目の数b1,b2に対しB=|b1-b2|
とする．次の問いに答えよ．
(4)Rがとりうる値と，Rがそれらの各値をとる確率をそれぞれ求めよ．
(5)R≧4,G≧4,B≧4が同時に成り立つ確・・・

　国立 九州大学 2013年 第3問

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作Lと操作Rを考える．
\mon[L:]さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[R:]さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作Lを行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作L・・・