「確率」について

　国立 宇都宮大学 2013年 第1問

数直線上の動点Pはさいころを投げて偶数が出れば+1，奇数が出れば-1移動する．Pの最初の位置（座標）をP0=0とし，さいころをk回投げたときのPの位置（座標）を順にP1，P2，・・・，Pkとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)さいころを4回投げたとき，P4=2となる確率を求めよ．
(2)さいころを8回投げたとき，P8=nとなる確率をnを用いて表せ．ただし，nは-8≦n≦8をみたす整数である．
(3)さいころを4・・・

　国立 滋賀大学 2013年 第2問

AとBの2人がそれぞれ9個のボールを持っていて，次のようなゲームを行う．まずどちらかが硬貨を投げ，表であればAの勝ち，裏であればBの勝ちとする．勝者は0から3までの数が1つずつ書かれた4枚のカードから無作為に1枚を取り出し，書かれている数だけ敗者からボールを受け取る．ただし，取り出したカードはもとに戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)このゲームを2回続けて行ったとき，2人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲ・・・

　国立 奈良女子大学 2013年 第3問

nを正の整数とする．袋の中に，1から4nまでの数字が1つずつ書かれた4n枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この袋から，カードを1枚ずつ2回取り出す．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出された2枚のカードに書かれた数字の和が6n以下となる確率をPnとおく．次の問いに答えよ．
(1)P1,P2をそれぞれ求めよ．
(2)Pnをnを用いて表せ．また，極限\lim_{n→∞}Pnを求めよ．

　国立 奈良女子大学 2013年 第5問

一辺の長さが1の正六角形ABCDEFの頂点から異なる3点を選び，これらを頂点とする三角形を作る．次の問いに答えよ．
(1)作られる三角形が正三角形となる確率を求めよ．
(2)作られる三角形の面積の期待値を求めよ．

　国立 大分大学 2013年 第1問

nを9以上の自然数とする．袋の中にn個の球が入っている．このうち6個は赤球で残りは白球である．この袋から6個の球を同時に取り出すとき，3個が赤球である確率をPnとする．
(1)P_{10}を求めなさい．
(2)\frac{P_{n+1}}{P_{n}}を求めなさい．
(3)Pnが最大となるnを求めなさい．

　国立 大阪教育大学 2013年 第4問

ある種の粒子は出現して1時間後に次のように変化する．
確率1/3で2個の新しい粒子になる．
確率1/2で1個の新しい粒子になる．
確率1/6で消滅する．
1個の粒子から始まるものとして，次の問いに答えよ．
(1)2時間後に粒子が2個になっている確率を求めよ．
(2)3時間後に粒子が5個になっている確率を求めよ．
(3)nを自然数とする．n時間・・・

　国立 三重大学 2013年 第3問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にA，B，C，Dにある確率を，それぞれpn,qn,rn,snとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)n≧1に対しqn=rn=snとなることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．ただし，p0=1,q0=0とする．・・・

　国立 三重大学 2013年 第3問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にAにある確率をpn，Bにある確率をqnとする．このとき，n秒後にCにある確率も，Dにある確率もqnとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし，p0=1,q0=0とする．
(1)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．
(2)cn=pn-q_・・・

　国立 琉球大学 2013年 第3問

aを自然数とする．赤球3個，白球a個が入った袋から一つずつ順に取り出す操作をすべての球を取り出すまで繰り返す．ただし，取り出した球は元に戻さない．このとき，2個目の赤球が出る前までに取り出した球の数をXとする．次の問いに答えよ．
(1)a=4とする．3番目までに赤球が1個だけ出て，4番目が赤球である確率を求めよ．
(2)X=nとなる確率をpnとする．pnが最大となるnの値をaを用いて表せ．
(3)Xの期待値を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)四角形ABCDにおいて，線分ACと線分BDの交点をPとし，∠DAC=∠CBD，AC=8，AP=2，PD=4とする．このときBDの長さを求めよ．
(2)平面上で2つの円を考える．共通接線がちょうど3本引けるような2つの円の位置関係の例を図示せよ．また，3本の共通接線も描け．
(3)3個のさいころを同時に投げるとき，3個の目の積が3の倍数である確率を求めよ．
(4)a,bを実数とする．命題「ab=0ならば・・・