「確率」について

　国立 鹿児島大学 2013年 第7問

0,1,2,3,4の数字が1つずつ記入された5枚のカードがある．この5枚のカードの中から1枚引き，数字を記録して戻すという作業を3回繰り返す．ただし，3回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した3つの数字の最小値をXとするとき，次の各問いに答えよ．
(1)k=0,1,2,3,4に対して確率P(X≧k)を求めよ．
(2)確率変数Xの確率分布を表で表せ．
(3)確率変数Xの平均（期待値）E(X)を求めよ．
(4)確率変数Xの分散V(X)を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第8問

確率変数Xのとる値の範囲が0≦X≦2で，その確率密度関数f(x)が次の式で与えられるものとする．
f(x)={\begin{array}{ll}
k/ax&(0≦x≦a)\
\frac{k}{2-a}(2-x)&(a＜x≦2)
\end{array}.
ここで，a,kは0＜a＜1,k＞0を満たす定数である．次の各問いに答えよ．
(1)定数kの値を求めよ．
(2)Xの平均（期待値）E(X)をaを用いて表せ．
(3)P(X≦u)=0.5となる実数uをaを用いて表せ．

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第8問

硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ1/2の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げをn回繰り返す．k=1,2,・・・,nに対し，k回目の硬貨投げの結果に応じてakを次で定める：
ak={\begin{array}{rl}
1&k　回目の硬貨投げの結果が表のとき　\
-1&k　回目の硬貨投げの結果が裏のとき　
\end{array}.
また，このak(k=1,2,・・・,n)を用いてn次式f(x)をf(x)=Σ_{k=1}nakxkで定める．
(1)nが偶数・・・

　国立 福井大学 2013年 第3問

さいころの目によってx軸上を移動する点Qを考える．さいころを1回投げて5または6の目が出ればQはx軸上を正の向きに1だけ移動し，その他の目が出ればQはx軸上を負の向きに1だけ移動する．最初，Qはx軸上の原点にあり，さいころをn回投げてQがn回移動したときのQのx座標をXnとおく．整数kに対し，Xn=kとなる確率をp(n,k)と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)p(3,3)，p(3,2)，p(3,1)，p(3,0)の値を求めよ．
(2)X3・・・

　国立 山口大学 2013年 第4問

原点を出発点として数直線上を動く点Pがある．次のような試行を考える．さいころを1回投げて，5以上の目が出たときは点Pを正の向きに1だけ進め，4以下の目が出たときは負の向きに2だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．
(1)この試行を3回行うとき，点Pが原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を9回行うとき，点Pが3回目と9回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を9回行うとき，点Pが3回目と9回目の・・・

　国立 山口大学 2013年 第4問

原点を出発点として数直線上を動く点Pがある．次のような試行を考える．さいころを1回投げて，5以上の目が出たときは点Pを正の向きに1だけ進め，4以下の目が出たときは負の向きに2だけ進める．このような試行について，次の問いに答えなさい．
(1)この試行を3回行うとき，点Pが原点の位置にくる確率を求めなさい．
(2)この試行を9回行うとき，点Pが3回目と9回目に原点の位置にくる確率を求めなさい．
(3)この試行を9回行うとき，点Pが3回目と9回目の・・・

　国立 島根大学 2013年 第2問

円周上に異なるn個の点があり，どの2点も線分で結ばれている．ここでnは4以上の自然数とする．同様の確からしさで異なる2本の線分を1組選ぶとき，その2本が円の内部で交わっている確率を考える．たとえば，n=4のときは，線分が6本，異なる2本の線分の組が15組，そのうち円の内部で交わるものは1組で，円の内部で交わっている確率は1/15となる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)n=5のとき，線分の数，異なる2本の線分の組の数，そのうち円の内部で交わっている組の数・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第4問

最初に袋の中に，赤球と白球が3個ずつ，合計6個入っている．この状態から次の①～③の一連の操作を行う．
\mon[①]袋の中から無作為に3個の球を取り出す．
\mon[②]①で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[③]①,②の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．①～③の操作の後に，袋の・・・

　国立 岐阜大学 2013年 第3問

1から9までの数字が1つずつ重複せずに書かれた9枚のカードがある．そのうち8枚のカードをA，B，C，Dの4人に2枚ずつ分ける．以下の問に答えよ．
(1)9枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている2枚のカードに書かれた数の和が4人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている2枚のカードに書かれた数の差が4人とも同じである確率を求めよ．ただし，2枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数で・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第4問

1から40までの番号をつけた40枚のカードが2組ある．これら80枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に3枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．
(1)3つの番号がすべて3の倍数である確率
(2)3つの番号の積が3の倍数である確率
(3)3つの番号の和が3の倍数である確率