「確率」について

　私立 津田塾大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)実数xが4x+4^{-x}=7をみたすとき，8x+8^{-x}の値を求めよ．
(2)整数xの1桁目を四捨五入した値を\langlex\rangleと表す．例えば，\langle4\rangle=0，\langle5\rangle=10，\langle11\rangle=10である．サイコロを2回投げたとき，1回目に出る目の数をx，2回目に出る目の数をyとする．\langlex+y\rangle=\langlex\rangle+\langley\rangleとなる確率を求めよ．

　私立 青山学院大学 2013年 第2問

10円硬貨3枚と100円硬貨3枚を同時に投げて，表の出た10円硬貨の枚数をX，表の出た100円硬貨の枚数をYとし，XとYの大きい方をZとする．ただし，XとYが等しいときはZ=Xとする．
(1)X≦1である確率は\frac{[ク]}{[ケ]}である．
(2)Z≦1である確率は\frac{[コ]}{[サ]}である．
(3)Z=3である確率は\frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}である．
\mon・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)2つのサイコロを同時にふるとき，出た目の和がnである確率をPnとする．自然数n(2≦n≦12)に対して
Pn=\frac{[ア]-|n-[イ|]}{[ウ]}
である．
(2)整数p,qに対して，多項式
f(x)=2x4+(p+2q)x3+(pq+4)x2+(2p+2)x+p
を考える．f(0)，f(1)，f(2)がすべて素数のとき，p=[エ]，q=[オ]である．

　私立 早稲田大学 2013年 第2問

あるスポーツの試合において，A，Bの2チームが対戦し，先に3回勝った方が優勝とする．1回の試合でAが勝つ確率をp，Bが勝つ確率を1-pとする．
(1)p=1/3のときに，ちょうど4試合目で優勝チームが決まる確率は\frac{[カ]}{[キ]}である．
(2)ちょうどN試合目で優勝チームが決まるとする．このとき，0≦p≦1の範囲でNの期待値の最大値は\frac{[ク]}{[ケ]}である・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第3問

箱の中に赤玉が2個，青玉が3個，白玉が4個入っている．
(1)この箱の中から3個の玉を同時に取り出したとき，全て同じ色である確率は[ス]である．
(2)この箱の中から1つずつ玉を取り出し，青玉が出たときに終了する．終了時に4個以上の玉を取り出している確率は[セ]である．ただし，取り出した玉は箱に戻さないものとする．
(3)この箱の中から1つずつ玉を取り出し，青玉が3個出たときに終了する．ちょうど玉を5個取り出したときに終了する確率は[ソ]である．ただし，取り出し・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

次の[]にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)a,bは定数で，xについての整式x3+ax+bは{(x+1)}2で割り切れるとする．このとき，a=[]，b=[]である．
(2)5個の自然数の組(a1,a2,a3,a4,a5)で，
a1=1,an+1≦a_{n+1}≦an+2(n=1,2,3,4)
を満たすものは全部で[]組ある．
(3)3次関数f(x)はx=1とx=2で極値をとり，曲線y=f(x)と曲線y=\frac{3x}{2\sqrt{x2+1}}+1は点(0,1)において共通の・・・

　私立 立教大学 2013年 第2問

弓道部のA君が矢を射るとき，矢が的に命中する確率をa(0＜a＜1)とする．nを自然数とし，mを0≦m≦nを満たす整数とする．A君が矢をn回射るとき，ちょうどm回命中する確率をp(m,n)とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)p(1,3)をaの式で表せ．
(2)p(7,9)をaの式で表せ．
(3)ある自然数x,y(x≦y)についてp(x-1,y)=p(x,y)であるとき，aの値をx,yの式で表せ．

　公立 首都大学東京 2013年 第2問

xy平面で，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．点Pを次のルールで格子点上を移動させる．
\begin{itemize}
さいころをふって出た目が1または2のとき，x軸の正の方向に1だけ移動させる．
さいころをふって出た目が3または4のとき，y軸の正の方向に1だけ移動させる．
さいころをふって出た目が5または6のとき，動かさない．
\end{itemize}
以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく理由も述べなさい．
(1)点Pの最初の座標を(0,0)と・・・

　公立 愛知県立大学 2013年 第1問

tを1≦t≦6を満たす実数とする．原点をO(0,0)とする座標平面上に，点A(1,0)，B(3,0)，C(3,12)，D(1,12)，P(7,0)，Q(t,7t-t2)をとる．長方形ABCDと△OPQの共通部分の面積をf(t)とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(t)を求めよ．
(2)3個のさいころを同時に投げて，出た目の合計をmとする．このとき，
f(m/3)＜3m
となる確率を求めよ．

　公立 兵庫県立大学 2013年 第3問

1,2,3,4の目を持ったサイコロがある．1と3の目がそれぞれ2つずつあり，2と4の目は1つずつである．このサイコロを1以外の目が出るまで振り続ける．出た目の数の総和がnである確率をPnとする．次の問に答えなさい．
(1)出た目の数の総和が6となるサイコロの目の出方を全て列挙しなさい．
(2)P2,P3,P4をそれぞれ求めなさい．
(3)出た目の数の総和が5以上である確率を求めなさい．
(4)Pnが最大となるnの値を求めなさい．