「確率」について

　公立 首都大学東京 2013年 第1問

1から10までの番号が1つずつ重複せずに書かれた10枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横1列に並べてある．この中から，無作為に2枚のカードを選び，その場所を入れかえる操作を考える．nを正の整数として，この操作をn回行ったとき，左端にあるカードに書かれている番号が1である確率をpnとする．以下の問いに答えなさい．
(1)p1を求めなさい．
(2)n回目の操作のあと，1が書かれたカードが左端になく，(n+1)回目の操作のあとに1が書かれたカードが左端にある確率をqnとするとき・・・

　公立 大阪市立大学 2013年 第4問

点Pは数直線上を動くものとする．1個のさいころを投げて，奇数の目が出たときにはPは正の向きに1だけ進み，偶数の目が出たときにはPは正の向きに2だけ進む．nを自然数とする．さいころを続けて投げて，出発点からPが進んだ距離がn以上になったら，そこでさいころを投げるのをやめるものとする．このときに，出発点からPが進んだ距離がちょうどnである確率をanとする．また，bn=a_{n+1}-anとおく．次の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3を求めよ．
(2)a_{・・・

　公立 会津大学 2013年 第4問

袋の中に，1と書かれた玉，2と書かれた玉，3と書かれた玉，6と書かれた玉が1つずつ，全部で4つ入っている．ここから玉を1つ取り出して袋に戻すことを3回行う．取り出した玉に書かれた数を順にa,b,cとする．以下の問いに答えよ．
(1)a+b+cが奇数になる確率を求めよ．[イ]
(2)a×b×cが偶数になる確率を求めよ．[ロ]
(3)a×b×cが6の倍数になる確率を求めよ．[ハ]
(4)a×b+b×c+c×aが3の倍数になる確率を求めよ・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2013年 第5問

1個のさいころをn回（n=1,2,3,・・・）投げたとき，1の目が出る回数が偶数となる確率をpn，奇数となる確率をqnとする．ただし，0は偶数に含まれるものとする．以下の問いに答えよ．
(1)p1,q1,p2,q2をそれぞれ求めよ．
(2)p_{n+1},q_{n+1}をそれぞれpnとqnを用いて表せ．
(3)pn-qnをnを用いて表せ．
(4)pn,qnをそれぞれnを用いて表せ．

　公立 宮城大学 2013年 第3問

次の空欄[ナ]から[ヘ]にあてはまる数や式を書きなさい．
ゆがんだサイコロがあり，各々の目の出る確率は下記の確率分布表の通りである．
\begin{center}
確率分布表
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
目&1&2&3&4&5&6\\hline
確率&1/9&4/45&p&q&1/35&r\\hline
\end{tabular}
\end{center}
また，このサイコロを6回投げたとき，次のような2つのデー・・・

　公立 名古屋市立大学 2013年 第2問

文字A，B，C，数字1,2,3と書かれたカードをそれぞれ1枚ずつ，合計6枚を箱に入れる．箱から無作為にカードを2枚引いて，図のような列A，B，C行1,2,3とする3×3のマス目に以下のルールに従って，石を置くか取り除く試行を行う．
（プレビューでは図は省略します）
\begin{itemize}
引いた2枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた2枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石・・・

　公立 釧路公立大学 2013年 第2問

以下の各問に答えよ．
(1)L，O，N，D，O，Nの6文字全部を横一列に並べるとき，LがDの左側にある並べ方の総数を求めよ．ただし，LとDの間に他の文字が入る場合も含む．
(2)1つのサイコロを3回続けて投げる．出た目の数を順にa,b,cとし，
X=(a-1)(b-2)(c-3)
とする．以下の問に答えよ．
(i)X=0となる確率を求めよ．
(ii)X＞0となる確率を求めよ．
\mon[(iii)・・・

　公立 札幌医科大学 2013年 第2問

1から4の数字が1つずつ書かれた正四面体のサイコロを独立に4回投げ，底面に書かれてある数字をサイコロを投げた順番にa1,a2,a3,a4とする．そして，座標平面上の2点をP1(a1,a2)，P2(-a3,a4)とする．また，原点をOと表す．
(1)点P1が直線y=2x上にあり，かつ点P2が直線y=-1/2x上にある確率を求めよ．
(2)∠P1OP2が直角となる確率を求めよ．
(3)∠P1OP2が鋭角となる確・・・

　公立 島根県立大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)曲線y=2x3-ax2+3bx上の点(-1,4)における接線が，直線2013x-671y+2013=0と平行になるとき，aとbの値を求めよ．
(2)SUCCESSの7文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともにCとなる確率を分数で答えよ．
(3)(5x-y-2z)(25x2+5xy+y2-2yz+4z2+10zx)の展開式において，xyzの係数を求めよ．
(4)円x2+2x+y2-3=0上を動く点Pと，2点A(3,1)，B(1,-4)を3つの頂点とする三角形ABPの重心\ten{G・・・

　公立 島根県立大学 2013年 第2問

原点Oを起点にXY座標軸上を次の法則に従って動く2つの点A，Bがある．コインを投げて表が出れば点AはX軸上を+1だけ動き，点Bはその場にとどまる．一方，裏が出れば点Aはその場にとどまり，点BはY軸上を+1だけ動く．次の問いに答えよ．
(1)6回コインを投げたとき，点Aが(6,0)の位置に到達する確率を求めよ．
(2)4回コインを投げたとき，三角形OABの面積が3/2になる確率を求めよ・・・