「確率」について

　公立 鳥取環境大学 2013年 第4問

次のようなゲームについて以下の問に答えよ．
カードが5枚伏せてある．1回の試行ではカードをかき混ぜて1枚をでたらめに選んでめくり，出たカードの番号に対応する賞品がもらえる．5種類の賞品をすべてあつめるのが目的である．ただし，めくったカードはその都度戻すものとする．
ここで，すでにk種類の賞品を持っている状況で試行を1回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率をPkで表すとする（0≦k≦4）．P0=1である．
(1)P1の値を求めよ．
(2)Pkを・・・

　公立 富山県立大学 2013年 第2問

2から21までの整数がそれぞれ1つずつ書かれた20個のボールが，箱の中に入っている．まず，箱の中の20個のボールから1個を取り出し，そのボールに書かれた数をpとする．次に，箱の中の19個のボールから1個を取り出し，そのボールに書かれた数をqとする．このとき，次の確率を求めよ．
(1)log_{10}(p+q)=1となる確率
(2)log_{10}p＞log_{10}qとなる確率
(3)logpq＞2となる確率
(4)2logpqが整数となる確率

　公立 岐阜薬科大学 2013年 第5問

1辺の長さが1の正六角形ABCDEFの辺上を動く点Pがある．頂点Aを出発して，さいころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに1動き，偶数の目が出たときは反時計回りに2動くという試行を繰り返し，再び頂点Aに戻ったとき試行を終了する．
(1)3回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)3回の試行後，点Pが頂点A，B，C，D，E，Fにいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)3k回の試行後・・・

　公立 北九州市立大学 2013年 第4問

ひとつのさいころを3回続けて投げて，出た目を順にX,Y,Zとする．また，A=Y/X，B=X/Y，C=Y/Zとする．以下の問いに答えよ．
(1)Aのとりうる値のなかで，その値をとる確率が最も大きくなるようなAの値を求めよ．
(2)Aの期待値を求めよ．
(3)AとBの値がいずれも2以下である確率を求めよ．
(4)BとCの値がいずれも1未満である確率を求めよ．

　公立 横浜市立大学 2013年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cを実数として，A,B,Cを
A=a+b+c,B=a2+b2+c2,C=a3+b3+c3
とおく．このときabcをA,B,Cを用いて表せ．
(2)nを自然数とする．このとき
Σ_{k=0}^{n-1}\frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2}
を求めよ．
(3)ボタンを押すとX，Y，Zいずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，XとYが表示される確率は，等しくかつZが表示される確率の2倍である，とする．いま，ボタンを5・・・

　公立 横浜市立大学 2013年 第2問

n個のボールと，1からnまでの番号がふられたn個の空の箱がある．また，1からnの番号が書かれたn枚のカードが袋の中に入っている．いま，以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える．
手順1袋からカードを1枚無作為に取り出して，手順2に進む．
手順2手順1で取り出したカードに書かれている番号の箱が，
\begin{itemize}
空ならば，そこにボールを1つ入れて，手順3へ進む．
空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順1に戻る・・・

　公立 北九州市立大学 2013年 第1問

以下の問いの空欄[ア]～[コ]に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)\sqrt{6+4√2}の小数部分をaとすると，a=[ア]，a2-\frac{1}{a2}=[イ]となる．
(2)2次関数y=3x2-6x+a+6(0≦x≦3)の最小値が5となるような定数aの値は[ウ]である．また，このとき最大値は[エ]である．
(3)0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ，3桁の整数を作るとき・・・

　公立 奈良県立医科大学 2013年 第9問

大，小の2つのサイコロを同時になげ，大のサイコロの出た目をa，小のサイコロの出た目をbとする．このとき，a+b＜abとなる確率を求めよ．

　国立 東京大学 2012年 第2問

図のように，正三角形を9つの部屋に辺で区切り，部屋P，Qを定める．1つの球が部屋Pを出発し，1秒ごとに，そのまま部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する．球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ．
\begin{center}
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(4,4)(0,0)
\put(2,3.7){\line(3,-5){2}}
\put(2,3.7){\line(-3,-5){2}}
\put(0,0.36){\line(1,0){4}}
\put(0.66,1.47){\line(1,0){2.67}}
\put(1.32,2.58){\line(1,0){1.34}}
\put(0.66,1.47){\line(3,-5){0.66}}・・・

　国立 京都大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)2つの曲線y=x4とy=x2+2とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)nを3以上の整数とする．1からnまでの番号をつけたn枚の札の組が2つある．これら2n枚の札をよく混ぜ合わせて，札を1枚ずつ3回取り出し，取り出した順にその番号をX1,X2,X3とする．X1＜X2＜X3となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．