「確率」について

　国立 北海道大学 2012年 第4問

AとBの2チームが試合を行い，どちらかが先にk勝するまで試合をくり返す．各試合でAが勝つ確率をp，Bが勝つ確率をqとし，p+q=1とする．AがBより先にk勝する確率をPkとおく．
(1)P2をpとqで表せ．
(2)P3をpとqで表せ．
(3)1/2＜q＜1のとき，P3＜P2であることを示せ．

　国立 一橋大学 2012年 第5問

最初に1の目が上面にあるようにサイコロが置かれている．その後，4つの側面から1つの面を無作為に選び，その面が上面になるように置き直す操作をn回繰り返す．なお，サイコロの向かい合う面の目の数の和は7である．
(1)最後に1の目が上面にある確率を求めよ．
(2)最後に上面にある目の数の期待値を求めよ．

　国立 名古屋大学 2012年 第3問

nを2以上の整数とする．1からnまでの整数が1つずつ書かれているn枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．このn枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値をX，最大値をYとする．次の問に答えよ．ただし，jとkは正の整数で，j+k≦nを満たすとする．また，sはn-1以下の正の整数とする．
(1)X≧jかつY≦j+kとなる確率を求めよ・・・

　国立 京都大学 2012年 第6問

さいころをn回投げて出た目を順にX1,X2,・・・,Xnとする．さらに
Y1=X1,Yk=Xk+\frac{1}{Y_{k-1}}(k=2,・・・,n)
によってY1,Y2,・・・,Ynを定める．
\frac{1+√3}{2}≦Yn≦1+√3
となる確率pnを求めよ．

　国立 東北大学 2012年 第3問

袋A，袋Bのそれぞれに，1からNの自然数がひとつずつ書かれたN枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．
(1)N=4とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数をXとする．X=1,X=2,X=3,X=4となる確率をそれぞれ求めよ．またXの期待値を求めよ．
(2)N=3とし，n・・・

　国立 東北大学 2012年 第3問

袋A，袋Bのそれぞれに，1からNの自然数がひとつずつ書かれたN枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．
(1)N=4とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数をXとする．X=1,X=2,X=3,X=4となる確率をそれぞれ求めよ．またX・・・

　国立 大阪大学 2012年 第5問

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目をℓ，2回目に出る目をm，3回目に出る目をnで表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．
(1)極限値
\lim_{x→-1}\frac{lx2+mx+n}{x+1}
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
f(x)=\frac{lx2+mx+n}{x+1}
が，x＞-1の範囲で極値をとる確率を求めよ．

　国立 名古屋大学 2012年 第2問

nを2以上の整数とする．1からnまでの整数が1つずつ書かれているn枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．このn枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値をX，最大値をYとする．次の問に答えよ．ただし，jとkは正の整数で，j+k≦nを満たすとする．また，sはn-1以下の正の整数とする．
(1)X≧jかつY≦j+kとなる確率を求めよ・・・

　国立 大阪大学 2012年 第1問

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目をl，2回目に出る目をm，3回目に出る目をnで表し，3次式
f(x)=x3+lx2+mx+n
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)が(x+1)2で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数y=f(x)が極大値も極小値もとる確率を求めよ．

　国立 岡山大学 2012年 第2問

表の出る確率がp，裏の出る確率がqである硬貨を用意する．ここでp,qは正の定数で，p+q=1を満たすとする．座標平面における領域Dを
D={(x,y)|0≦x≦2,0≦y≦2}
とし，D上を動く点Qを考える．Qは点(0,0)から出発し，硬貨を投げて表が出ればx軸方向に+1だけ進み，裏が出ればy軸方向に+1だけ進む．なお，この規則でD上を進めないときには，その回はその点にとどまるものとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)硬貨を4回投げて\ten{・・・