「確率」について

　国立 北海道大学 2012年 第5問

AとBの2チームが試合を行い，どちらかが先にk勝するまで試合をくり返す．各試合でAが勝つ確率をp，Bが勝つ確率をqとし，p+q=1とする．AがBより先にk勝する確率をPkとおく．
(1)P2をpとqで表せ．
(2)P3をpとqで表せ．
(3)P4をpとqで表せ．
(4)1/2＜q＜1のとき，P4＜P3であることを示せ．

　国立 埼玉大学 2012年 第3問

正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれA，B，Cとし，頂点A上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
[　R　]さいころの目が3の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，3の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを3回投げたとき，碁石が頂点A，B，C上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころをn・・・

　国立 千葉大学 2012年 第3問

さいころを7回投げ，k回目（1≦k≦7）に出る目をXkとする．
(1)積X1X2が18以下である確率を求めよ．
(2)積X1X2・・・X7が偶数である確率を求めよ．
(3)積X1X2・・・X7が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積X1X2・・・X7を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．

　国立 東京大学 2012年 第3問

図のように，正三角形を9つの部屋に辺で区切り，部屋P，Qを定める．1つの球が部屋Pを出発し，1秒ごとに，そのまま部屋にとどまることなく，辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する．球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ．
\begin{center}
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(4,4)(0,0)
\put(2,3.7){\line(3,-5){2}}
\put(2,3.7){\line(-3,-5){2}}
\put(0,0.36){\line(1,0){4}}
\put(0.66,1.47){\line(1,0){2.67}}
\put(1.32,2.58){\line(1,0){1.34}}
\put(0.66,1.47){\line(3,-5){0.66}}・・・

　国立 信州大学 2012年 第3問

さいころを1000回投げるとき，1の目がちょうどk回出る確率をPkとおく．Pkが最大となるkを求めよ．

　国立 広島大学 2012年 第4問

Nは4以上の整数とする．次の規則にしたがって1個のさいころを繰り返し投げる．
規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が3回出るか，あるいは奇数の目がN回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを3回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころをN回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出・・・

　国立 広島大学 2012年 第5問

nは自然数とし，点Pは次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．\\
規則:\\
(A)Pは，はじめに点(1,2)にある．\\
(B)さいころを投げて2以下の目が出ればPは原点を中心に反時計回りに120°回転し，3以上の目が出れば時計回りに60°回転する．\\
(C)(B)をn回繰り返す．\\
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)n=3のとき，出た目が4,1,2であったとする．このときPが最後に移った点の座標を求めよ．
(2)n=3のとき，Pが・・・

　国立 九州大学 2012年 第4問

いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき，次の試行Tを考える．\\
(試行T)箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．\\
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉がn個入っている確率pn(n=1,2,3)を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉がn個入っている確率qn(n=1,2,3)を求めて既約分数で表せ．
(3)試行Tを3回行ったときに，箱Aの中が・・・

　国立 九州大学 2012年 第5問

いくつかの玉が入った箱Aと箱Bがあるとき，次の試行Tを考える．
\begin{eqnarray}
　(試行T)　&&　箱Aから2個の玉を取り出して箱Bに入れ，その後，　\nonumber\\
&&　箱Bから2個の玉を取り出して箱Aに入れる．　\nonumber
\end{eqnarray}
最初に箱Aに黒玉が3個，箱Bに白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行Tを1回行ったときに，箱Aに黒玉がn個入っている確率pn(n=1,2,3)を求めて既約分数で表せ．
(2)試行Tを2回行ったときに，箱Aに黒玉がn個入っている確率qn(n=・・・

　国立 東京工業大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)辺の長さが1である正四面体OABCにおいて辺ABの中点をD，辺OCの中点をEとする．2つのベクトルベクトルDEとベクトルACとの内積を求めよ．
(2)1から6までの目がそれぞれ1/6の確率で出るさいころを同時に3個投げるとき，目の積が10の倍数になる確率を求めよ．