「確率」について

　国立 防衛医科大学校 2012年 第4問

n,rはn≧rを満たす正の整数であるとし，x,yともに0以上n以下の整数であるような座標平面上の点(x,y)の集合をSとする．また，曲線x2+y2=r2(x≧0,y≧0)，x軸，y軸によって囲まれる領域(境界を含む)をDとする．ここで，Sからランダムに1点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．
(1)n=10,r=5のとき，選ばれた点がD内にある確率はいくらか．
(2)[x]はxを超えない最大の整数を表す記号である．直線x=t上の点でDに含まれるSの要素の個・・・

　国立 九州工業大学 2012年 第1問

1つのさいころを4回投げ，i回目(i=1,2,3,4)に出る目をaiとする．また，出る目の種類を数え，その数をmとする．例えば，a1=2,a2=3,a3=2,a4=5のとき，2,3,5の3種類の目が出たのでm=3とする．次に答えよ．
(1)m=1となる場合は何通りあるか．
(2)m=2となる確率を求めよ．
(3)mの期待値を求めよ．
(4)a1≦a2≦a3≦a4となる確率を求めよ．

　国立 滋賀大学 2012年 第3問

3個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)出る目の最小値が3以上になる確率を求めよ．
(2)3個のうち，いずれか2個の目の和が8になる確率を求めよ．
(3)出る目の最小値が2以下になり，かつどの2個の目の和も8でない確率を求めよ．

　国立 千葉大学 2012年 第10問

さいころをn回(n≧2)投げ，k回目\;(1≦k≦n)に出る目をXkとする．
(1)積X1X2が18以下である確率を求めよ．
(2)積X1X2・・・Xnが偶数である確率を求めよ．
(3)積X1X2・・・Xnが4の倍数である確率を求めよ．
(4)積X1X2・・・Xnを3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．

　国立 岩手大学 2012年 第6問

動点Pは，xy平面上の原点(0,0)を出発し，x軸の正の方向，x軸の負の方向，y軸の正の方向，およびy軸の負の方向のいずれかに，1秒ごとに1だけ進むものとする．その確率は，x軸の正の方向と負の方向にはそれぞれ1/5，y軸の正の方向には2/5，およびy軸の負の方向には1/5である．このとき次の問いに答えよ．
(1)2秒後に動点Pが原点(0,0)にある確率を求めよ．
(2)4秒後に動点Pが原点(0,0)にある確率を求めよ．
(3)5秒・・・

　国立 佐賀大学 2012年 第4問

サイコロを4回投げて，1，2，3，4回目に出た目をそれぞれa,b,c,dとするとき，行列Aを\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
-c&-d
\end{array}\biggr)で定める．次の問いに答えよ．
(1)A2-(a-d)A-(ad-bc)E=Oを示せ．ただし，E,Oはそれぞれ2次の単位行列，零行列とする．
(2)nを2以上の自然数とするとき，A2=Oが成り立つための必要十分条件は，ad=bcおよびa=dが成り立つことである．これを示せ．
(3)nを2以上の自然数とする．An=Oとなる確率を求めよ．

　国立 大分大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数係数の二次方程式x2+2bx+c=0の解をα,βとする．この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき，α+β+αβの最小値を求めよ．
(2)\frac{5√2}{3}が無理数であることを示せ．
(3)動点Pが現在x軸上の原点にある．コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ，コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む．この試行を3回続けて行ったとき，点Pが原点にある確・・・

　国立 鳥取大学 2012年 第1問

袋の中に1から10までの自然数が1つずつ書かれたボールが10個入っている．次の問いに答えよ．
(1)袋の中から3個のボールを同時に取り出すとき，3個のボールに書かれた数の和が8になる確率を求めよ．
(2)袋から1個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを3回繰り返すとき，記録された3つの数字のうち，ちょうど2つが同じ数字になる確率を求めよ．

　国立 鳥取大学 2012年 第1問

袋の中に1からnまでの自然数が1つずつ書かれたボールがn個入っている．次の問いに答えよ．ただしn≧3とする．
(1)袋の中から3個のボールを同時に取り出すとき，3個のボールに書かれた数の和が8になる確率を求めよ．
(2)袋から1個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを3回繰り返すとき，記録された3つの数字のうち，ちょうど2つが同じ数字になる確率を求めよ．
(3)(2)で求めた確率が1/2以上となるnの範囲を求めよ．

　国立 奈良女子大学 2012年 第5問

1つのさいころを4回投げ，出た目を1回目から順にa,b,c,dとする．このa,b,c,dを用いてxの2次式
f(x)=x2-(a+d)x+(ad-bc)
を作る．次の問いに答えよ．
(1)どのようなさいころの目が出たとしても，2次方程式f(x)=0は異なる2つの実数解を持つことを示せ．
(2)どのようなさいころの目が出たとしても，2次方程式f(x)=0は少なくとも1つの正の実数解を持つことを示せ．
(3)2次方程式f(x)=0の2つの実数解がいずれも0以上である確率は1/2以上である・・・