「確率」について

　国立 岐阜大学 2012年 第2問

1から8までの番号が1つずつ重複せずに書かれた8個の玉が，箱の中に入っている．1回目の操作として，箱から3個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り1個を箱に戻す．この状態から2回目の操作として，さらに箱から3個の玉を同時に取り出す．1回目の操作で取り出した3個の玉の最大番号と最小番号の差をn1，2回目の操作で取り出した3個の玉の最大番号と最小番号の差をn2とする．以下の問に答えよ．
(1)n1≧3となる確率を求めよ．
(2)2回目の操作で取り・・・

　国立 岐阜大学 2012年 第2問

1から8までの番号が1つずつ重複せずに書かれた8個の玉が，箱の中に入っている．1回目の操作として，箱から3個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り1個を箱に戻す．この状態から2回目の操作として，さらに箱から3個の玉を同時に取り出す．1回目の操作で取り出した3個の玉の最大番号と最小番号の差をn1，2回目の操作で取り出した3個の玉の最大番号と最小番号の差をn2とする．以下の問に答えよ．
(1)n1≧3となる確率を求めよ．
(2)2回目の操作で取り・・・

　国立 富山大学 2012年 第3問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
0&x\\
y&z
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
0&w\\
w&0
\end{array}\biggr)は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)]A2+A+E=O
\mon[(イ)]B2=E
ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array}\biggr)である．
(1)x,y,z,wがすべて整数でx＜ywを満たすとき，x,y,z,wを求めよ．
\mon・・・

　国立 富山大学 2012年 第3問

箱の中に，数字の1が書かれたカードと数字の2が書かれたカードが，それぞれ1枚ずつ入っている．この箱の中から1枚のカードを取り出し，数字を記録して箱に戻す．これをn回繰り返したとき，記録された数字の和が3の倍数である確率をPnとする．
(1)P1,P2を求めよ．
(2)P_{n+1}をPnを用いて表せ．
(3)Pnをnを用いて表せ．

　国立 富山大学 2012年 第3問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
0&x\\
y&z
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
0&w\\
w&0
\end{array}\biggr)は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)]A2+A+E=O
\mon[(イ)]B2=E
ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array}\biggr)である．
(1)x,y,z,wがすべて整数でx＜ywを満たすとき，x,y,z,wを求めよ．
\mon・・・

　国立 九州工業大学 2012年 第4問

1辺の長さが1の正三角形の頂点を時計回りにP，Q，Rとする．これらの頂点のいずれかにある動点が，次のように辺上を移動することを1回の試行とする．さいころを1回投げて，1の目が出れば反時計回りに長さ1だけ移動し，6の目が出れば移動せず，それ以外の場合は時計回りに長さ1だけ移動する．動点は最初に点Pにあり，n回の試行後に動点が点P，Q，Rにある確率をそれぞれpn,qn,rn(n=1,2,3,・・・)とする．以下の問いに答えよ．
(1)p1,p2をそれぞれ求めよ．
(2)q2,r2をそれぞれ求め，さらにp・・・

　国立 新潟大学 2012年 第4問

箱の中に1から9までの異なる整数が1つずつ書かれたカードが9枚入っている．「箱からカードを1枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を3回繰り返す．記録された3つの整数の最小値をm，最大値をMとする．次の問いに答えよ．
(1)m=Mとなる確率を求めよ．
(2)5＜mとなる確率およびM＜5となる確率を求めよ．
(3)m≦5≦Mとなる確率を求めよ．

　国立 新潟大学 2012年 第4問

箱の中に1から9までの異なる整数が1つずつ書かれたカードが9枚入っている．「箱からカードを1枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を3回繰り返す．記録された3つの整数の最小値をm，最大値をMとする．次の問いに答えよ．
(1)5＜mとなる確率およびM＜5となる確率を求めよ．
(2)m≦5≦Mとなる確率を求めよ．
(3)k=1,2,・・・,9に対して，m≦k≦Mとなる確率をp(k)とする．p(k)の最大値，最小値を求めよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第5問

5人の生徒が袋を1つずつ持っている．どの生徒の袋の中にも，赤球，青球，白球がそれぞれ1個ずつ計3個入っている．\\
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数をkとする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)k=2である確率を求めよ．
(3)k=1である確率を求めよ．
(4)kの期待値を求めよ．
・・・

　国立 宮崎大学 2012年 第4問

nを自然数とする．1つの袋に白球がn個と赤球が2個，合わせてn+2個の球が入っている．この袋から，n+1個の球を1個ずつ取り出し，左から1列に順に並べる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)並べた列に赤球が2個入っている確率を，nを用いて表せ．
(2)2個の赤球の間にある白球の個数をkとする．ただし，並べた列に赤球が2個入っていない場合は，k=0とする．このとき，kの期待値が1以上となる最小のnの値を求めよ．