「確率」について

　国立 浜松医科大学 2012年 第4問

1個のさいころを3回投げる．1回目，2回目，3回目に出る目の数をそれぞれX1,X2,X3として，3つの確率変数
Y=4X1+X2,Z1=2X1+3X2,Z2=2X1+3X3
を定める．1から6までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)数の集合U={x\;|\;x　は整数かつ　5≦x≦30}を全体集合として，
\begin{array}{l}
S={x\;\bigg|\;x\inU　かつ　P(Y=x)＞1/36}\\\
T={x\;\bigg|\・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2012年 第4問

箱Aには1から9までの数が書かれた札が9枚，箱Bには0から9までの数が書かれた札が10枚入っている．今，それぞれの箱から1枚ずつ札を取り出して2桁の数を作る．ただし，箱Aから取り出した札を十の位，箱Bから取り出した札を一の位に割り当てるものとし，取り出した札は数を記録した後で元の箱に戻す．今，下図のような数直線を考え，点Qが初期状態で3の位置にあるものとする．2桁の数が3の倍数の場合は数直線上の点Qを負の方向に1移動し，それ以外の場合は正の方向に1・・・

　国立 福岡教育大学 2012年 第2問

大小2個のさいころを同時に投げる．大きなさいころの出た目の数を小さなさいころの出た目の数で割った値をXとする．次の問いに答えよ．
(1)Xが整数となる確率を求めよ．
(2)1/4＜X＜4となる確率を求めよ．
(3)Xの期待値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2012年 第1問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
\img{669287220121}{38}
(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・

　国立 愛媛大学 2012年 第4問

実数aはa＞eを満たすとし，曲線y=logx上の点A(a,loga)における接線をℓとする．
(1)ℓとy軸との交点をBとし，ℓとx軸との交点をCとする．BとCの座標を求めよ．
(2)ℓとx軸，y軸で囲まれた部分の面積をS1(a)とし，曲線y=logxとx軸および直線x=aで囲まれた部分の面積をS2(a)とする．S1(a)とS2(a)を求めよ．
(3)T(a)=S2(a)-S1(a)とおく．e2≦a≦e3におけるT(a)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 金沢大学 2012年 第4問

n≧3とする．1個のサイコロをn回振る．このn回の試行のうちで6の目がちょうど2回，しかも続けて出る確率をpnとする．次の問いに答えよ．
(1)p3,p4を求めよ．
(2)pnを求め，
p_{n+1}-5/6pn=(1/6)2(5/6)^{n-1}
であることを示せ．
(3)sn=p3+p4+・・・+pnとして，\lim_{n→∞}snを求めよ．ただし，必要ならば，|r|＜1のとき\lim_{n→∞}nrn=0であることは使ってよ・・・

　国立 鳴門教育大学 2012年 第3問

赤玉2個，黒玉4個，白玉N個が入った袋から，2個の玉を同時に取り出す．このとき，次の問いに答えよ．ただし，N≧1とする．
(1)取り出した2つの玉が同じ色である確率が1/3以下であるとする．このときNの取りうる値を求めよ．
(2)取り出した2つの玉が赤玉と白玉である確率をP(N)とするとき，P(N+1)-P(N)を求めよ．
(3)取り出した2つの玉が赤玉と白玉である確率が最大になるNを求めよ．

　国立 東京海洋大学 2012年 第3問

下図のような8個の点A，B，C，D，E，F，G，Hを頂点とする直方体がある．ここで，AB=1，BC=1，AE=2である．8個の頂点から相異なる3点を選ぶとき，その3点を頂点とする三角形の面積をSとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，どの3点が選ばれる確率も等しいとする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)3点A，C，Hを選んだとき，Sの値を求めよ．
(2)S=1となる確率を求めよ．
(3)Sの期・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第2問

ある競技の大会に，チーム1，チーム2，チーム3，チーム4が参加している．大会は予選と決勝戦からなる．まず，抽選によって，図のように2チームずつに分かれて予選を行う．次に，各予選の勝者が決勝戦を行う．過去の対戦成績から次のことが分かっている．
チームiとチームj（1\leqi＜j\leq4）が試合をするとき，確率pでチームjが勝利し，確率1-pでチームiが勝利する．ただし0＜p＜1である．
このとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(2)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．
・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

数直線上を動く点Pがある．点Pは原点を出発して，さいころを1回投げるごとに，2以下の目が出たときには正の向きに1だけ進み，3以上の目が出たときには負の向きに2だけ進むものとする．
(1)さいころを3回投げたとき，点Pが原点にくる確率は\frac{[ア]}{[イ]}である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを5回投げたとき，点Pの座標が-4または2になる確率は\frac{[ウ]}{[エ]}・・・