「確率」について

　国立 福井大学 2015年 第1問

1からnまでの番号が1つずつ書かれているn個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から3個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，n≧3とする．
(1)n=5のとき，球に書かれている3つの数のうち，2つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている3つの数のうち，2つだけが連続している確率p(n)を求めよ．
(3)球に書かれている3つの数のうち，どの2つも連続していない確率q(n)を求めよ．
(4)p(n)の最大値と，そのときのnの値を求めよ．
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　国立 鳴門教育大学 2015年 第5問

数直線上で，点Pは原点Oを出発点とし，さいころを投げて偶数の目が出たときは正の方向へ1だけ進み，奇数の目が出たときは負の方向へ1だけ進むものとします．k回さいころを投げた後の，点Pの位置の座標をX(k)とするとき，次の確率を求めなさい．
(1)X(1),X(2),・・・,X(6)のうち最も大きな数が3である確率
(2)X(1),X(2),・・・,X(6)のうち最も大きな数が3以下である確率

　国立 滋賀医科大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)さいころを2回投げて，出た目を順にa,bとおく．関数
f(x)=ax
についてf(b)=6となる確率を求めよ．
(2)さいころを4回投げて，出た目を順にa,b,c,dとおく．関数
f(x)=ax3+bx2+cx
についてf(d)が素数となる確率を求めよ．
(3)さいころを6回投げて，出た目を順にa,b,c,d,e,fとおく．2つの放物線
y=ax2+bx+c,y=dx2+ex+f
がただ1つの共有点をもつ確率を求めよ．

　国立 和歌山大学 2015年 第1問

nを1以上の整数とする．袋の中に，1の数字を書いたカードが1枚，2の数字を書いたカードが2枚，3の数字を書いたカードが3枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字すべての積をRnとする．Rnが3で割り切れない確率と，Rnが6で割り切れる確率をnを用いて表せ．
(2)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字の合計をSnとし・・・

　国立 和歌山大学 2015年 第1問

nを1以上の整数とする．袋の中に，1の数字を書いたカードが1枚，2の数字を書いたカードが2枚，3の数字を書いたカードが3枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字すべての積をRnとする．Rnが3で割り切れない確率と，Rnが6で割り切れる確率をnを用いて表せ．
(2)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字の合計をSnとし・・・

　国立 滋賀大学 2015年 第1問

1から9までの番号が1つずつ書かれた9枚のカードから無作為に1枚を取り出し，その番号を確認してもとにもどす．この試行を4回行う．カードに書かれた番号を取り出した順にa1,a2,a3,a4とするとき，次の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4がすべて異なる確率を求めよ．
(2)a1,a2,a3,a4が異なる2種類の番号をそれぞれ2個ずつ含む確率を求めよ．
(3)a1＜a2＜a3＜a4となる確率を求めよ．
(4)a1≦a2≦a3≦a4となる確率を求めよ．

　国立 信州大学 2015年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)n個の実数a1,a2,・・・,anに対して
(Σ_{k=1}nak)2≦nΣ_{k=1}n{ak}2
が成立することを示せ．また，等号が成立するためのa1,a2,・・・,anについての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを2回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は1/6よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，1から6の目が同様に確からしく出ないことをいう．

　国立 信州大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)n個の実数a1,a2,・・・,anに対して
(Σ_{k=1}nak)2≦nΣ_{k=1}n{ak}2
が成立することを示せ．また，等号が成立するためのa1,a2,・・・,anについての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを2回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は1/6よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，1から6の目が同様に確からしく出ないことをいう．

　国立 信州大学 2015年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)n個の実数a1,a2,・・・,anに対して
(Σ_{k=1}nak)2≦nΣ_{k=1}n{ak}2
が成立することを示せ．また，等号が成立するためのa1,a2,・・・,anについての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを2回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は1/6よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，1から6の目が同様に確からしく出ないことをいう．

　私立 立教大学 2015年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)空間内の3点A，B，CをA(0,1,1)，B(1,0,1)，C(2,2,0)とする．実数p,qを用いて点HをベクトルAH=pベクトルAB+qベクトルACで定める．原点をO(0,0,0)として，ベクトルOHがベクトルABとベクトルACの両方に垂直であるとき，p=[ア]，q=[イ]である．
(2)不等式x+3＜5|x-1|を満たす実数xの範囲は，x＜[ウ]またはx＞\kakko{エ・・・