「確率」について

　私立 早稲田大学 2012年 第2問

赤球と白球をあわせて12個の球が入っている袋がある．この袋から同時に2個の玉を取り出すとき，それらが
同じ色である確率は31/66である．袋には白球よりも赤球が多く入っている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)袋に赤球は[イ]個入っている．
(2)この袋から同時に3個の球を取り出すとき，赤球が少なくとも1個含まれる確率は\frac{[ウ]}{[エ]}である．ただし，[エ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

　私立 早稲田大学 2012年 第1問

数直線上を動く点Pがある．点Pは原点を出発して，さいころを1回投げるごとに，2以下の目が出たときには正の向きに1だけ進み，3以上の目が出たときには負の向きに2だけ進むものとする．
(1)さいころを3回投げたとき，点Pが原点にくる確率は\frac{[ア]}{[イ]}である．ただし，[イ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)さいころを5回投げたとき，点Pの座標が-4または2になる確率は\frac{[ウ]}{[エ]}・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

表が出る確率がa(0＜a＜1/2)，裏が出る確率が1-aのコインを1枚投げる試行をn回行う．ただしn≧2とする．このn回の試行の結果，表が2回以上出る事象をAnで表す．また1回目からn回目の試行が終わるまでに，[裏→表]の順で出ない事象をBnで表す．つぎの問に答えよ．
(1)確率P(An),P(Bn)を求めよ．
(2)確率P(An∩Bn)を求めよ．
(3)極限
\lim_{n→∞}\frac{P(An)P(Bn)}{P(An∩Bn)}
を求めよ．ただし，0＜r＜1をみたすrに対して，\d・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第2問

次の問に答えよ．
(1)4個の数字2,4,9,12から重複を許して4個選ぶとき，選んだ4個の数の平均が8になる確率は[カ]である．
(2)A，Bの2人が1つのサイコロを1回ずつ交互に投げる．Aから始めてA，B，A，Bの順で1人2回，2人あわせて4回投げるものとする．
(3)先に2回偶数を出した人を勝ちとするとき，Bが勝つ確率は[キ]である．
(4)先に2回1の目を出した人を勝ちとするとき，\te・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

次の空欄に当てはまる数字を書け．
(1)Aの袋には赤玉1個と黒玉15個，Bの袋には黒玉16個が入っている．それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出して交換する，という試行をn回繰り返したとき，赤玉がAの袋に入っている確率をpnとする．ただし，nは自然数である．例えば，
p1=\frac{[1][2]}{[3][4]},p2=\frac{[5][6][7]}{[8][9][10]}
である．p_{n+1}をpnで表すと，p_{n+1}=\frac{\kakko{・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第6問

金貨と銀貨が1枚ずつある．これらを同時に1回投げる試行を行ったとき，金貨が裏ならば0点，金貨が表で銀貨が裏ならば1点，金貨が表で銀貨も表ならば2点が与えられるとする．この試行を5回繰り返した後に得られる点数をXとする．
(1)X=1となる確率を求めよ．
(2)X=3となる確率を求めよ．
(3)Xが偶数となる確率を求めよ．ただし，0は偶数とする．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第3問

袋の中に文字K，E，Iが書かれたカードがそれぞれ1枚ずつと，文字Oが書かれたカードが何枚か入っている．いま，袋の中から1枚ずつカードを取り出し，K，E，I，Oのすべての文字のカードがそれぞれ1枚以上出たところで終了する．ただし，一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする．
(1)袋の中に文字Oが書かれたカードが7枚あり，合計10枚のカードが入っている場合を考える．3枚目に文字Oのカードを取り出す確率は\k・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

2次方程式x2+ax+b=0の係数a,bを次のようにして決める．\\
1から6までの目のある正6面体のサイコロを2回投げる．1回目に出た目の数をa，2回目に出た目の数をbとする．このとき2次方程式の解が実数である確率は
\frac{[(1)][(2)]}{[(3)][(4)]}
である．\\
次にmを自然数として，1から4mまで書かれた4m枚のカードから無作為に1枚のカードを選び，書かれた数の正の平方根をaとする．選んだカードをもとに戻し，再び無作為に1枚のカードを選び，書かれた数をbとする．この・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

nを2以上9以下の自然数とする．1からnまでの数字が書いてあるn枚のカードを入れた袋から，カードを順に2枚引いて，引いた順に右から並べて2桁の数を作り，それらのカードを袋に戻す試行を考える．次の各問いに答えよ．
(1)n=9のとき，この試行によって得られた2桁の数が3の倍数である確率は\frac{[ア]}{[イ]}である．
(2)この試行を2回繰り返すとき，1回目の数が2回目の数以上となる確率をP(n)とする．このとき，P(5)=\frac{[ウエ]}{\kakk・・・

　私立 明治大学 2012年 第1問

以下の[]にあてはまる値を答えよ．
(1)座標平面上の点P(x,y)が媒介変数θを用いて
\begin{array}{l}
x=-sinθ+2cosθ\
y=2sinθ+3cosθ
\end{array}
と表されているとする．このとき，原点をOとすると
OP2=[ア]√2sin([イ]θ+\frac{π}{[ウ]})+[エ]
が成り立つ．
(2)4つのサイコロを投げて，出た目の積をmとする．
(3)m=10となる確率は\displayst・・・