「確率」について

　公立 大阪府立大学 2012年 第1問

サイコロをn回ふって，数列a1,a2,・・・,anを次のように定める．ただし，n≧3とする．
(i)1回目に1の目が出たときはa1=0，それ以外の目が出たときは，a1=1とする．
(ii)k回目に1の目が出たときは，ak=0とする．
(iii)k回目に6の目が出たときは，ak=a_{k-1}+kとする．
\mon[\tokeishi]k回目に1と6以外の目が出たときは，ak=a_{k-1}+1とする．
自然数k(1≦k≦n)に対して，ak=kとなる・・・

　公立 愛知県立大学 2012年 第1問

3行3列に置かれた9個のライトがある．スイッチを入れると，それぞれのライトは青，黄，赤のいずれかの色に等しい確率で点灯するものとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)すべてのライトが同じ色で点灯する確率を求めよ．
(2)青，黄，赤の色が各1色ずつ点灯している行の数が1である確率を求めよ．
(3)青，黄，赤の色が各1色ずつ点灯している行の数の期待値を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2012年 第1問

サイコロをn回ふって，数列a1,a2,・・・,anを次のように定める．ただし，n≧3とする．
(i)1回目に1の目が出たときはa1=0，それ以外の目が出たときは，a1=1とする．
(ii)k回目に1の目が出たときは，ak=0とする．
(iii)k回目に6の目が出たときは，ak=a_{k-1}+kとする．
\mon[\tokeishi]k回目に1と6以外の目が出たときは，ak=a_{k-1}+1とする．
自然数k(1≦k≦n)に対して，ak=kとなる・・・

　公立 大阪府立大学 2012年 第3問

表が出る確率がp，裏がでる確率が1-pである1個のコインがある．ただし，pは0＜p＜1である定数とする．このコインをくりかえし投げる試行を考える．nを2以上の自然数とし，Qnをn回目に初めて2回続けて表が出る確率とする．以下の問いに答えよ．
(1)Q2,Q3,Q4をpを用いて表せ．
(2)1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって，Q_{n+2}をQn,Q_{n+1}およびpを用いて表せ．
(3)p=3/7のとき，一般項Qnをnを用いて表せ．

　公立 会津大学 2012年 第1問

次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．
(i)∫14√xdx=[]
(ii)∫0^{π/2}sin2xcosxdx=[]
(2)2つのベクトルベクトルa=(1,3)，ベクトルb=(2,-1)に対して，|ベクトルa+tベクトルb|はt=[]のとき，最小値[]をとる．
(3)0≦θ≦πにおいてsin2θ-2cosθ=0のとき，θ=[]である．
(4)・・・

　公立 九州歯科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)原点Oを中心とし，{150}°だけ回転すると，点P(x,y)が点(7,√3)に移った．xとyの値を求めよ．
(2)x≧0と自然数nに対して，2つの曲線y=√xとy=xn√xで囲まれる図形の面積をS1とする．一方，曲線y=√xと直線y=xで囲まれる図形の面積をS2とする．7S1=24S2をみたすnの値を求めよ．
(3)さいころを3回続けて投げたとき，第3回目に出た目の数が第1回目と第2回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確・・・

　公立 名古屋市立大学 2012年 第1問

サイコロを1の目が出るまで投げる．ただし，5回投げて1の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，2,3,1の順で目が出れば2+3+1=6点，2,4,3,2,6ならば2+4+3+2+6=17点となる．このとき次の問いに答えよ．
(1)4以下の自然数kに対して，k回目に1の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が1,2,3,4,5点である確率P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5)をそれぞれ求めよ．
(3)得点が27点である確率P(27)を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2012年 第3問

サイコロを1の目が出るまで投げる．ただし，5回投げて1の目が出なければそこで止める．それまでに出たサイコロの目の和を得点とする．例えば，2,3,1の順で目が出れば2+3+1=6点，2,4,3,2,6ならば2+4+3+2+6=17点となる．このとき次の問いに答えよ．
(1)4以下の自然数kに対して，k回目に1の目が出て終了する確率を求めよ．
(2)得点が1,2,3,4,5点である確率P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5)をそれぞれ求めよ．
(3)得点が27点である確率P(27)を求めよ．

　公立 宮城大学 2012年 第4問

数直線上の点Pを，サイコロを投げ，偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし，奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす．Pを最初原点0に置き，サイコロを2回投げたとき，Pの位置する場所について，次の問いに答えよ．ただし，サイコロは1から6までのどの目も同じ確率で出るものとする．
(1)Pが位置する可能性がある点（存在する確率が正の点）をすべて書け．
(2)Pが位置する可能性が最も高い点を求めよ．
(3)Pの座標の期待値を求めよ．
\end{・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2012年 第3問

AとBの2人が袋の中から玉を1つずつ交互に取り出すゲームを考える．最初に玉を取り出すのはAで，またAとBはともに取り出した玉を袋に戻さない．
(1)初め袋の中には白玉が(2n-2)個（n≧1），赤玉が2個入っているとする．2つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき，Aが勝つ確率を求めよ．
(2)初め袋の中には白玉が(2n-3)個（n≧2），赤玉が2個，黒玉が1個入っているとする．次の(i)と(ii)にしたがって勝敗を決める・・・