「確率」について

　国立 静岡大学 2011年 第4問

Aの袋には赤球3個と白球2個が，Bの袋にも赤球3個と白球2個が入っている．A，Bの袋から，それぞれ任意に1個の球を同時に取り出す．取り出した球は元に戻さず，これを1回の操作とする．この操作を4回繰り返すとき，次の問いに
答えよ．
(1)1回目の操作で取り出された2個の球がともに赤球である確率を求めよ．
(2)1回目の操作で取り出された2個の球と2回目の操作で取り出された2個の球がすべて赤球である確率を求めよ．
(3)初めて白球が取り出されるまでの球を取り出す操作の回数の期待値を求めよ．

　国立 埼玉大学 2011年 第4問

ダイヤ2枚，ハート2枚，クラブ2枚，スペード1枚からなる7枚のトランプがある．このトランプ7枚をよく混ぜたのち，この7枚を裏のまま横1列に並べる事象に対して，次のように点数を定める．
\begin{screen}
左から順にトランプをめくり，n枚目をめくって初めてダイヤ，ハート，クラブ，スペードの4種類がそろったときにn点とする．
\end{screen}
次の問いに答えよ．
(1)点数が7点となる確率を求めよ．
(2)点数が6点となる確率を求めよ．
(3)点数の期待値を求めよ．

　国立 埼玉大学 2011年 第4問

ダイヤ2枚，ハート2枚，クラブ2枚，スペード1枚からなる7枚のトランプがある．このトランプ7枚をよく混ぜたのち，この7枚を裏のまま横1列に並べる事象に対して，次のように点数を定める．
\begin{screen}
左から順にトランプをめくり，n枚目をめくって初めてダイヤ，ハート，クラブ，スペードの4種類がそろったときにn点とする．
\end{screen}
次の問いに答えよ．
(1)点数が7点となる確率を求めよ．
(2)点数が6点となる確率を求めよ．
(3)点数の期待値を求めよ．

　国立 広島大学 2011年 第5問

△ABCの頂点は反時計回りにA，B，Cの順に並んでいるとする．点Aを出発した石が，次の規則で動くとする．\\
コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ1/2とする．\\
コインをn回投げたとき，石が点A，B，Cにある確率をそれぞれan,bn,cnとする．次の問いに答えよ．
(1)a1,b1,c1の値を求めよ．
(2)a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}をan,bn,cnで表せ．また，a2,b2・・・

　国立 九州大学 2011年 第4問

1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある．その4枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．
操作：1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す．球に書かれた数字がiとjならば，iのカードとjのカードを入れかえる．その後，2個の球は袋に戻す．
初めにカードを左から順に1，2，3，4と並べ，上の操作を2回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．
(1)カード・・・

　国立 九州大学 2011年 第5問

1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある．その4枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える．
操作：1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す．球に書かれた数字がiとjならば，iのカードとjのカードを入れかえる．その後，2個の球は袋に戻す．
初めにカードを左から順に1，2，3，4と並べ，上の操作をn回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ．
(1)n=2のと・・・

　国立 広島大学 2011年 第5問

さいころをn回投げる．k回目(k=1,2,・・・,n)に投げた結果，
1または2の目が出たときXk=2，
3または4の目が出たときXk=3，
5または6の目が出たときXk=5
とする．これらの積をY=X1X2・・・Xnとおく．次の問いに答えよ．
(1)n=5のとき，Yが偶数になる確率p1を求めよ．
(2)n=5のとき，Yが100の倍数になる確率p2を求めよ．
(3)n=2のとき，Yの期待値Eを求めよ．

　国立 千葉大学 2011年 第7問

n人（n≧3）でじゃんけんを1回行うとき，次の問いに答えよ．ただし，「あいこ」とは1種類または3種類の手が出る場合であり，勝つ人数が0の場合である．
(1)1人だけが勝つ確率を求めよ．
(2)あいこになる確率を求めよ．
(3)勝つ人数の期待値を求めよ．

　国立 信州大学 2011年 第2問

硬貨1枚を投げたとき，表が出れば2点，裏が出れば1点を得るとする．硬貨を繰り返し投げて，合計点数が10点以上になったときに終了する．次の確率を求めよ．
(1)7回目に合計点数がちょうど10点となって終了する確率
(2)終了時の合計点数が10点である確率

　国立 信州大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)4人でじゃんけんを2回するとき，2回ともあいこになる確率を求めよ．
(2)次の関係式
a1=-1,a_{n+1}=2an(1-an)(n=1,2,3,・・・)
で定められる数列{an}は，1-2a_{n+1}=(1-2an)2を満たすことを示し，一般項anを求めよ．
(3)ベクトル0でない2つのベクトルベクトルa，ベクトルbについて，|ベクトルa|=2|ベクトルb|および|ベクトルa+2ベクトルb|=2|ベクトルa-ベクトルb|が成り立つとき，ベクトルaとベクトルbのなす角\t・・・