「確率」について

　国立 富山大学 2011年 第3問

実数を成分とする行列A=\biggl(\begin{array}{rr}
a&-b\\
b&c
\end{array}\biggr)はA2-A+E=Oをみたすとする．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列を表し，b＞0とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)bとcを，それぞれaを用いて表せ．
(2)2つのベクトルA\biggl(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\biggr)とA\biggl(\begin{array}{c}
1\\
-1
\end{array}\biggr)が垂直であるとき，行列Aを求めよ．
(3)Aを(2)で求めた行列とする．1個のさいころを2回投げて，出た目を・・・

　国立 岩手大学 2011年 第2問

1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，60%より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．

　国立 滋賀大学 2011年 第1問

nを3以上の整数とする．2n個の整数1,2,3,・・・,2nから無作為に異なる3個の数を選ぶとき，次の問いに答えよ．
(1)3個の数を小さい順に並べた数列が，公差2の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)3個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．

　国立 岩手大学 2011年 第2問

1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，60%より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．

　国立 奈良女子大学 2011年 第2問

さいころをn回投げたとき1の目が出る回数が奇数である確率をpnとおく．以下の問いに答えよ．
(1)p1,p2,p3を求めよ．
(2)p_{n+1}=2/3pn+1/6が成り立つことを示せ．
(3)pnを求めよ．

　国立 福井大学 2011年 第3問

表の出る確率がp，裏の出る確率が1-pのコイン8枚と，1つの箱が用意されている．最初，箱には8枚のコインのうちの1枚が入っており，次の操作を繰り返し行う．
(操作)箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．
例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに・・・

　国立 富山大学 2011年 第3問

実数を成分とする行列A=(\begin{array}{rr}
a&-b\\
b&c
\end{array})はA2-A+E=Oをみたすとする．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列を表し，b＞0とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)bとcを，それぞれaを用いて表せ．
(2)2つのベクトルA(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array})とA(\begin{array}{c}
1\\
-1
\end{array})が垂直であるとき，行列Aを求めよ．
(3)Aを(2)で求めた行列とする．1個のさいころをk+1回投げて，出た目・・・

　国立 東京医科歯科大学 2011年 第1問

ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率1/2で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数nに対し，
操作がちょうどn回目で終了となる確率をPn
操作がn回以上繰り返される確率をQn
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)P3,P4,P5,P6,P7をそれぞれ求めよ．
(2)Q6,Q7をそれぞれ求めよ．
(3)n≧5のとき，Qn-Q_{n-1}をQ_{n-4}を・・・

　国立 名古屋工業大学 2011年 第2問

大中小3枚のコインがある．サイコロを投げて次の規則でコインの表裏を反転させる試行を繰り返す．
\mon[(i)]1または2の目が出たら，大コインを反転
\mon[(ii)]3または4の目が出たら，中コインを反転
\mon[(iii)]5または6の目が出たら，小コインを反転
3枚とも表になっている状態から始めるとき，次の問いに答えよ．
(1)サイコロを5回投げたとき，3枚とも裏である確率を求めよ．
(2)サイコロを5回投げたとき，初めて3枚とも裏になる確率を求めよ．
(3)コインが3枚とも裏になったと・・・

　国立 千葉大学 2011年 第12問

k+1個（k≧1）の部屋A0,A1,A2,・・・,Akがある．千葉君はある部屋から，その部屋以外の部屋を等しい確率1/kで1つ選び，そこへ移動する．最初，部屋A0にいた千葉君が，n回（n≧1）部屋を移動した後に部屋A1にいる確率を求めよ．